단위원: 두 판 사이의 차이

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{{본문|삼각함수}}
 
단위원 위의 임의의 점 <math>P</math>를 [[극좌표]]를 이용하여 나타내는 경우, <math>(r,\theta)=(1,\theta)</math> (<math>\theta</math>: 점 <math>P</math>와 원점을 이은 반직선 <math>OP</math>와 <math>x</math>축이 이루는 각, <math>0</math> ≤<math>\theta</math> ≤ <math>2\pi</math>)으로 나타낼 수 있다. 또한 이 점을 직교좌표를 이용하여 표현하는 경우, 이 점의 좌표는 <math>(x,y)</math>로 나타낼 수 있다.
 
{|
|점 <math>P</math>에 의해 만들어지는 직각삼각형
| [[file파일:Triangleky.jpg|500px|left|]]
|}
 
점 <math>P</math>에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면 <math>sin\theta=\frac{y}{r}, cos\theta=\frac{x}{r}</math>으로 나타낼 수 있다.
 
단위원의 경우, 원점으로부터의 거리 <math>r=1</math>이므로 <math>x=sin\theta, y=cos\theta</math>로 정리할 수 있다.
 
이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리(<math>r</math>)'와 '<math>x</math>축의 양의 방향과 이루는 각도(<math>\theta</math>)'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다.
 
== 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화 ==
단위원 위의 임의의 한 점 <math>P</math>를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 <math>t</math>(<math>t</math>: 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 <math>(-1,0)</math>을 지나는 직선 <math>l</math>을 생각한다. 이 경우, 직선 <math>l</math>은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 <math>(-1,0)</math>, 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 <math>P</math>가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 <math>l</math>의 방정식을 연립하여 점 <math>P</math>의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 <math>t</math>에 대해 원 위의 모든 점(단, <math>(-1,0)</math>은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.
 
{|
|[[file파일:The rational parametrization of unit circle2.jpg]]
|}
 
:직선<math>l</math>의 직선의 방정식: <math>y=tx+t.</math>
 
직선<math>l</math>의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 <math>y</math>를 소거하면 <math>x</math>에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다.
:<math>x^2+(tx+t)^2=1.</math>
:<math>\Rightarrow x^2+t^2x^2+2t^2x+t^2-1=0.</math>
:<math>\therefore x=-1 </math> 또는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.</math>
 
따라서, 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표는 <math>x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>이다. <math>x</math>좌표를 직선 <math>l</math>의 방정식에 대입하여 <math>y</math>좌표도 찾아, 점 <math>P</math>의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.
:단위원과 직선<math>l</math>의 교점: <math>P=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)</math>.
 
 
== 함께보기 ==
* [[삼각함수]]
 
[[분류:기하학]]
[[분류:해석기하학]]
[[분류:1]]
[[분류:원 (기하학)]]

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