인수분해: 두 판 사이의 차이
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즉, [[다항식의 전개|전개]]의 역이다.이러한 관계를 표현한 것은 [[ 곱셈 공식| 곱셈공식]]이되겠다.
예를 들어 <math>x^2+7x+12</math>의 경우 <math>(x+3)(x+4)</math>로 만드는 것을 말한다. 이와 반대로 <math>(x+3)(x+4)</math>을 <math>x^2+7x+12</math>로 만드는 것은 [[다항식의 전개|전개]](expansion)라고 한다.
인수분해의 목적은 보통 어떤 원소를 더 기초적이고 간단한 조각으로 분해하는 데 있다. 예를 들어, 수를 소수들의 곱으로, 다항식을 인수분해 되지 않는 다항식으로 분해하는 것이다. 그리고 다항식의 경우는, 변수 <math>x</math>에 대하여 <math>x</math>가 [[근삿값]] 일 때, 근삿값을 참값에 가깝게 계산하기 위함과 [[방정식]] 등 을 풀기 위해 사용한다. 정수 집합에서는 [[산술의 기본 정리]], 다항식의 집합에서는 [[대수학의 기본 정리]]와 관련이 있다. 그러나 모든 [[환 (수학)|환]]에서 인수분해가 더 이상 분해되지 않는 원소들의 곱으로 유일하게 표현되는 것은 아니다. 유일한 인수분해가 성립하는 [[가환환]]을 [[유일 인수 분해 정역]]이라고 한다.
큰 정수의 소인수 분해는 매우 어려운 작업이다. 현재까지 충분히 빠른 속도로 이러한 작업을 수행하는 알고리즘이 알려져 있지 않으며, [[RSA 암호]] 알고리즘은 이를 근거로 작동한다.
== 다항식의 인수 분해 ==
다항식의 계수(coefficient)의 집합을 어느 범위로 한정하느냐에 따라 소인수분해의 결과가 달라질 수 있다. 예를 들어, 계수를 [[유리수]]로 한정할 경우 <math>x^2 - 2</math>과 <math>x^2 + 2</math>는 모두 인수분해 되지 않으므로 기약다항식(Irreducible polynomial)이 된다. 그러나 [[실수]]로 확장하면 <math>x^2 - 2</math>는 <math>(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})</math>로 인수분해 되고, <math>x^2 + 2</math>는 여전히 기약다항식이 된다. 계수를 [[복소수]]로 더 확장하면 비로소 <math>x^2 + 2</math>는 <math>(x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i)</math>로 인수분해 된다. 계수에 복소수를 허용하면 [[대수학의 기본 정리]](fundamental theorem of algebra)에 의해 모든 복소계수 다항식이 일차식으로 항상 인수분해 가능하다.
=== 이차식 ===
이차식 <math>ax^2 + bx + c</math>가 주어져 있을 때, 이 이차식의 값을 영으로 만드는 두 원소 <math>\alpha, \beta</math>가 있다면 다음과 같이 인수분해 된다.
:<math>a(x - \alpha)(x - \beta)</math>
또한 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 다음과 같이 계수로 표현가능하다.
:<math> {ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta) = a\left(x - \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \left(x - \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right),}</math>
=== 고차식 ===
삼차, 사차식의 경우에는 근의 공식을 이용할 수도 있다. 그러나 계산과정이 길고 손으로 직접하기에는 어려움이 따른다.
특별한 고차식에 적용할 수 있는 다양한 [[곱셈 공식| 곱셈 공식]]들이 있는데, 이러한 몇몇 공식들은 중고교 교과과정에서 자주 등장한다. 예를 들어,
:<math>a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \pm ab + b^2)</math>
:<math>a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)</math>
:<math>a^4 + a^2 b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)</math>
:<math>a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)</math>
와 같은 공식들이 있다. 이와 같은 공식들이 적용되지 않는다면 적당히 추측하는 방법을 동원하여 조립제법을 쓰는 경우도 있다.
만일 <math>px^4 \pm qx^2 \pm a</math>의 꼴인 경우 <math>x^2=X</math>로 치환해 합차공식을 적용시킬 수도 있다.
위 공식을 사용하여 1보다 큰 모든 정수 ''n''에 대해 <math>n^4 + 4^n</math>이 다음과 같이 항상 소수가 아님을 알 수 있다.(헝가리 Kürschák 경시대회 1978년 문제)<ref name="PSS">{{서적 인용
| 성 = Engel
| 이름 = Arthur
| 제목 = Problem-Solving Strategies
| 꺾쇠표 =
| 출판사 = Springer
| 연도 = 1999
| doi =
| id = ISBN 978-0387982199
| 쪽 = 121
}}</ref>
:(증명) <math>n</math>이 짝수일 경우 <math>n^4 + 4^n</math>은 짝수이다. <math>n</math>이 홀수일 경우, <math>n^4 + 4^n = n^4 + 4\cdot 4^{2k} = n^4 + 4\cdot (2^k)^4</math>이므로 역시 합성수가 된다.
==잘 알려진 인수 분해 공식==
모든 공식에 [[복부호 동순]]이 적용된다.
'''2차식'''
*<math>ma\pm mb = m(a\pm b)</math>
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