"실수"의 두 판 사이의 차이

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[[파일:Number-line.gif|섬네일|실수를실수을 수직선으로 나타낸 것]]
{{수}}
{{다른 뜻}}
 
[[수학]]에서, '''실수'''(實數, {{llang|en|real number}})는 주로 [[실직선]] 위의 점 또는 [[십진법]] 전개로 표현되는 수 체계이다. 예를 들어, -1, 0, {{수직분수|2}} [[루트 2|{{math|{{sqrt|2}}}}]], ''[[e (상수)|e]]'', [[원주율|π]] 등은 모두 실수이다.
 
 
실수 집합은 [[비가산 집합]]이다. 즉, [[자연수]] 집합과 실수 집합은 둘다 [[무한 집합]]이나, 그 사이에 [[일대일 대응]]이 존재하지 않는다. 실수 [[집합의 크기]]는 자연수 집합의 크기보다 크다. [[연속체 가설]]은 자연수 집합보다 크며 실수 집합보다 작은 크기를 갖는 실수 [[부분 집합]]이 존재하지 않는다는 명제이다. 연속체 가설은 ZFC(즉, [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]])에서 증명할 수도, 반증할 수도 없으며, 연속체 가설을 만족하거나, 그 부정을 만족하는 ZFC의 [[모형 (논리학)|모형]]이 모두 존재한다.
 
== 역사 ==
실수에 대한 엄밀한 정의는 [[게오르크 칸토어]]에 의해 이루어졌다. 유리수로부터 실수를 이론적으로 확장하여 그 성질을 규정짓게 된 것은 [[카를 바이어슈트라스]], [[게오르크 칸토어]], [[리하르트 데데킨트]]와 같은 수학자들의 공이 지대하였다.
 
== 정의 ==
{{본문|실수의 구성}}
실수 체계 <math>(\R, +, \cdot, <)</math>는 실수의 [[공리계|공리적]]으로 기술하거나통해 정의하거나, 유리수 등으로부터구체적인 [[구성주의모형 (수학논리학)|구성모형]]하여을 구성하여 정의할 수 있다.
 
=== 공리적 방법정의 ===
실수는 다음과 같은 공리를 만족하는 수 체계이다.
* [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈을곱셈이라고 불리는 두 [[이항 연산]]을 갖추며, 이들은 익숙한 규칙대로 작용한다.
* [[순서체]]를 이룬다. 즉, [[전순서]]를 갖추며, 이는 덧셈 및 곱셈과 조화를 이룬다호환된다.
* [[실수의 완비성|완비적]]이다. 즉, 공집합이 아닌 실수 부분 집합이 [[상계 (수학)|상계]]를 갖는다면, 항상 [[상한]]을 갖는다.
마지막 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 [[동형]] 의미 하에 유일하다.
 
=== 구성적 방법정의 ===
실수는 다음과 같은 대상으로서 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 실수는 실수 공리계의 [[모형 (논리학)|모형]]을 이룬다. 즉, 실수 공리계의 모든 공리들을 만족한다.
* [[유리수]] [[코시 수열]]의 "거리가 0으로 수렴"하는 [[동치 관계]]에 대한 [[동치류]]. 즉, 유리수의 표준 [[거리 공간]]에 대한 [[완비화]]이다.
* 십진법 전개의 [[동치류]]. 예를 들어, 1과 [[0.999...]]는 서로 동치이다.
 
== 연산과 순서연산 ==
=== 사칙연산사칙 연산 ===
{{본문|사칙연산사칙 연산}}
실수 집합 위에는 [[덧셈]] +, [[뺄셈]] -, [[곱셈]] ×, [[나눗셈]] ÷이 정의되어 있으며, 이들 중 덧셈과 곱셈은 [[교환 법칙]], [[결합 법칙]], [[분배 법칙]]을 만족한다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>a+b=b+a</math>
* <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>
* <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>
* <math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>
 
실수 0과 1은 사칙 연산에서 특별한 역할을 맡는다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>0+a=a</math>
* <math>1\cdot a=a</math>
* <math>0\cdot a=0</math>
 
실수 <math>x\in\mathbb R</math>과 그 [[반수 (수학)|반수]] <math>-x</math>를 더하면 0이다. 즉,
* <math>x+(-x)=0</math>
 
0이 아닌 실수 <math>x\in\mathbb R\setminus\{0\}</math>과 그 [[역수]] <math>\frac1x</math>를 곱하면 1이다. 즉,
* <math>x\cdot\frac1x=1</math>
 
뺄셈과 나눗셈은 다음과 같이 덧셈과 곱셈으로 귀결된다.
* <math>a-b=a+(-b)</math>
=== 거듭제곱과 거듭제곱근 ===
{{본문|거듭제곱|거듭제곱근}}
양수(=실직선에서 0의 우측의 실수=0보다 큰 수) 밑, 실수 지수의 거듭제곱을 정의할 수 있다. 실수에 대하여 거듭제곱을 정의할 수 있는 건 실수의 완비성이 있기 때문이다. 대략의 정의는 다음과 같다.
:<math>a^n=\overbrace{aa\cdots a}^n\qquad(a>0,\;n\in\mathbb Z^+)</math>
:<math>a^0=1</math>
:<math>a^{-n}=\frac1{a^n}=\frac1{\underbrace{aa\cdots a}_n}\qquad(a>0,\;n\in\mathbb Z^+)</math>
:<math>a^\frac mn=\sup\{x\in\mathbb R\colon x^n<a^m\}\qquad(a>0,\;m,n\in\mathbb Z,\;n>0,\;\gcd\{m,n\}=1)</math>
:<math>a^r=\sup\{a^q\colon q\in\mathbb Q,\;q<r\}\qquad(a>0,\;r\in\mathbb R)</math>
음수(=실직선에서 0의 좌측의 실수=0보다 작은 수) 밑의 거듭제곱 역시 정의할 수 있는데, 이는 유리수 지수에 한하며, 또한 이렇게 확장된 거듭제곱은 위의 연산 법칙을 비롯한 좋은 성질들을 만족시키지 못한다.
 
=== 순서 ===
{{참고|부등식}}
실수들 사이에는 순서(즉, 크기 비교)가 존재한다. 두 실수 <math>a,b\in\mathbb R</math>의 순서 <math>a<b</math>의 직관은 [[실직선]] 위에서 <math>a</math>가 더 왼쪽에, <math>b</math>가 오른쪽에 있다는 것이다. <math>a\le b</math>는 <math>a<b</math>이거나 <math>a=b</math>라는 뜻이다. 이에 따라, 실수의 순서는 다음 성질들을 만족시킨다.
* <math>a\nless a</math>
* <math>a<b\implies b\nless a</math>
* <math>a<b<c\implies a<c</math>
* <math>a<b</math>이거나, <math>a=b</math>이거나, <math>a>b</math>.
또한, 실수의 순서는 실수의 연산과 호환된다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>a<b\implies a+c<b+c</math>
* <math>a<b,\;c>0\implies ac<bc</math>
* <math>a<b,\;c<0\implies ac>bc</math>
* <math>0<a<b,\;n>0\implies a^n<b^n</math>
* <math>0<a<b,\;n<0\implies a^n>b^n</math>
'''양수'''({{llang|en|positive number}})는 0보다 큰 실수를 뜻하며, '''[[음수]]'''({{llang|en|negative number}})는 0보다 작은 실수를 뜻한다. 위의 성질들에 따라, 모든 실수는 양수, 음수와 0 가운데 하나에 속한다. 또한, 양수 곱하기 양수는 항상 양수이며, 양수 곱하기 음수는 항상 음수이며, 음수 곱하기 음수는 항상 양수이다. 특히, 임의의 실수의 제곱은 항상 음수가 아닌 실수이다.
 
=== 구간 ===
{{본문|구간}}
[[구간]]은 특별한 실수 [[부분 집합]]으로서, 주어진 두 실수 사이의 실수를 원소로 갖거나, 주어진 한 실수를 시작점으로 하는 반직선에 놓인 실수를 원소로 갖는다. 예를 들어, 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, 다음과 같다.
* <math>x\in(3,5)\iff3<x<5</math>
* <math>x\in[-2,10]\iff-2\le x\le10</math>
* <math>x\in(6,+\infty)\iff6<x</math>
 
퇴화 구간은 구간과 비슷한 집합으로서, 두 끝점의 순서가 정상적인 구간의 반대이다. 예를 들어, 다음과 같다.
* <math>x\in[3,3]=\{3iff3\}le x\le3\iff x=3</math>
* <math>x\in(9, 5)=\iff9<x<5\iff x\in\varnothing</math>
 
=== 상한 공리 ===
실수 집합은 [[아르키메데스 성질]]을 만족한다.
{{본문|상한 공리}}
수들의 집합(예를 들어, [[유리수]] 집합이나 실수 집합)의 모든 수들보다 작지 않은 수를 그 집합의 [[상계와 하계|상계]]라고 한다. 이는 보통 존재하지 않거나, 존재한다면 여럿이 같이 존재한다. 수들의 집합에 상계들이 존재하며, 이들 가운데 가장 작은 하나가 존재한다면, 이를 [[상한과 하한|상한]]이라고 한다. 실수 집합 <math>\mathbb R</math>은 다음 성질을 만족시킨다.
* 공집합이 아닌 실수 부분 집합 <math>\varnothing\ne S\subseteq\mathbb R</math>에 상계가 존재한다면, 상한 역시 존재한다.
이를 상한 공리이라고 한다. 상한 공리는 실수의 완비성에 대한 한 가지 표현이다.
 
=== 데데킨트 완비성 ===
{{참고|데데킨트 절단|실수의 완비성}}
실수의 완비성은 실수의 가장 중요한 성질의 하나이다. '''데데킨트 절단'''({{llang|en|Dedekind cut}})을 통해 서술하는 것이 가장 간단하다. 실수 집합 <math>\mathbb R</math>의 두 부분 집합 <math>D,E\subseteq\mathbb R</math>의 쌍 <math>(D,E)</math>이 다음 조건들을 만족시키면, <math>(D,E)</math>를 <math>\mathbb R</math>의 '''데데킨트 절단'''이라고 한다.
* <math>D,E\ne\varnothing</math>
* <math>D\cup E=\mathbb R</math>
* 임의의 <math>d\in D</math> 및 <math>e\in E</math>에 대하여, <math>d<e</math>
* <math>D</math>는 [[최소 원소]]를 가지지 않는다.
이제, 실수의 '''데데킨트 완비성 공리'''를 다음과 같이 서술할 수 있다.
* 실수 집합 <math>\mathbb R</math>의 데데킨트 절단 <math>(D,E)</math>에 대하여, <math>E</math>는 항상 최소 원소를 가진다.
데데킨트 완비성 공리는 상한 공리와 서로 동치이다.
{{증명 시작|증명 (상한 공리 ⇒ 데데킨트 완비성 공리)}}
{{증명 끝}}{{증명 시작|증명 (데데킨트 완비성 공리 ⇒ 상한 공리)}}
{{증명 끝}}
 
=== 기타 성질 ===
실수 집합은 [[아르키메데스 성질]]을 만족한다. 즉, 두 실수 <math>x,y>0</math>가 있다고 하자. 이 경우 <math>x</math>가 아무리 크고 <math>y</math>가 아무리 작더라도, <math>x</math>를 충분히 많은 횟수 <math>n</math>만큼 더하면, <math>y</math>를 초과한다. 즉,
:<math>\underbrace{x+x+\cdots+x}_n>y</math>
실수 집합 위의 순서는 [[조밀 순서]]이다. 즉, 임의의 서로 다른 두 실수 <math>x<y</math>에 대하여, 항상 그 사이에 또 다른 실수 <math>x<z<y</math>가 존재한다.
 
== 위상 ==
실수 집합 위에는 표준적인 [[위상 공간]] · [[거리 공간]] · [[노름 공간]] · [[내적 공간]] 구조를 부여할 수 있다. 즉,
* 주어진 두 실수 <math>x,y\in\mathbb R</math>의 내적은 곱 <math>xy</math>이다.
* 주어진 실수 <math>x\in\mathbb R</math>의 노름은 [[절댓값]] <math>|x|=\sqrt{x^2}</math>이다.
* 주어진 두 실수 <math>x,y\in\mathbb R</math>의 거리는 <math>|x-y|</math>이다.
* 실수 집합 위의 표준적인 위상은 [[거리 위상]]이자 [[순서 위상]]이다.
 
실수 부분 집합 <math>S\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[콤팩트 집합]]이다. 즉, 모든 [[열린집합|열린]] [[덮개 (위상수학)|덮개]]가 유한 부분 덮개를 갖는다.
* 중간값 성질을 만족한다. 즉, 임의의 <math>a,b\in S</math>에 대하여, <math>(a,b)\subseteq S</math>이다.
* (퇴화 또는 비퇴화) [[구간]]이다.
 
== 분류 ==
실수는 [[유리수]]와 [[무리수]]로 분류된다. 실수 <math>q\in\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* <math>x</math>는 유리수이다. 즉, <math>x=\frac mn</math>인 정수 <math>m\in\mathbb Z</math> 및 <math>n\in\mathbb Z\setminus\{0\}</math>이 존재한다.
* <math>x</math>는 [[유한 소수]]이거나, [[무한 순환 소수]]이다. 즉, 다음을 만족시키는 <math>p,q,r\in\{0,1,\dots\}</math> 및 <math>a_i,b_i,c_i\in\{0,1,\dots,9\}</math>가 존재한다.
*:<math>x=a_pa_{p-1}\cdots a_0.b_1b_2\cdots b_q\dot c_1c_2\cdots\dot c_r</math>
* <math>x</math>는 [[유한 연분수]]이다. 즉, 다음을 만족시키는 <math>a_i\in\mathbb Z</math> 및 <math>n\in\{0,1,\dots\}</math>가 존재한다.
*:<math>x=[a_0;a_1,\dots,a_n]</math>
예를 들어, 1/3 = 0.333...은 유리수이며, [[e (상수)|''e'' = 2.7182...]]와 [[원주율|π = 3.1415...]]는 무리수이다.
 
== 성질 ==
=== 집합론적 성질 ===
실수 [[집합의 크기]]는 다음과 같다.
:<math>|\mathbb R|=2^{\aleph_0}</math>
여기서 <math>\aleph_0</math>은 [[알레프 0]]이다. 달리 말해, 실수는 자연수 부분 집합과 일대일 대응한다. 이 둘 사이의 일대일 대응은 여러 가지 만들 수 있다.
 
== 역사 ==
실수에 대한 엄밀한 정의는 [[게오르크 칸토어]]에 의해 이루어졌다. 유리수로부터 실수를 이론적으로 확장하여 그 성질을 규정짓게 된 것은 [[카를 바이어슈트라스]], [[게오르크 칸토어]], [[리하르트 데데킨트]]와 같은 수학자들의 공이 지대하였다.
 
== 같이 보기 ==