배수: 두 판 사이의 차이
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[[파일:배수 기호.svg|thumb|100px|배수 기호]]
[[파일:배수 기호 아님.svg|thumb|100px|오른쪽 수가 왼쪽 수의 배수가 아닐 때 사용하는 기호]]
[[수론]]에서, 어떤 수의 '''배수'''(倍數, {{llang|en|multiple}})
== 정의 ==
[[정수]] <math>n\in\mathbb Z</math>의 '''배수'''는 다음 조건을 만족시키는 정수 <math>m\in\mathbb Z</math>이다.
* <math>m=nk</math>인 정수 <math>k\in\mathbb Z</math>가 존재한다.
(일부 문헌에서는 <math>n\ne0</math>을 가정하기도 한다.)
== 성질 ==
정수 <math>n\in\mathbb Z</math>의 배수의 집합은 다음과 같다.
&=\{nk\colon k\in\mathbb Z\}\\
* 0은 모든 정수의 배수이다.▼
&=\{\dots,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,\dots\}
* <math>a, b</math>가 <math>x</math>의 배수이면 <math>a + b</math>,<math>a - b</math>,<math>ab</math>도 <math>x</math>의 배수이다. (동시에 x²의 배수이다.)▼
\end{align}</math>
정수의 배수의 집합은 특히 0과 자기 자신을 원소로 가지며, 정수 계수 선형 결합에 의해 닫혀있다. 즉, 정수 <math>n</math>에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
* <math>n</math>은 <math>n</math>의 배수이다.
▲* <math>
* 위 세 성질로부터 유도될 수 없다면 <math>n</math>의 배수가 아니다.
특히, 정수의 배수의 집합은 [[정수환]]의 ([[유사환]]) [[아이디얼]]을 이룬다. [[소수 (수론)|소수]]의 배수의 집합은 정수환의 [[소 아이디얼]]을 이룬다.
작은 정수의 배수의 판정법은 다음과 같다.
* 0의 배수는 0뿐이다. 임의의 정수 <math>k\in\mathbb Z</math>에 대하여 <math>0k=0</math>이기 때문이다.
* 1의 배수는 전체 정수이다. 임의의 정수 <math>k\in\mathbb Z</math>에 대하여 <math>1k=k</math>이기 때문이다.
* 2의 배수인 정수를 [[짝수]]라고 한다. 어떤 정수가 짝수일 [[필요 충분 조건]]은 십진법 전개의 일의 자리 수가 짝수인 것이다. (다른 자리 수와 상관없다.) 예를 들어, 26은 일의 자리 수가 6이므로 짝수이며, 17은 일의 자리 수가 7이므로 짝수가 아니다.
* 어떤 정수가 3의 배수일 [[필요 충분 조건]]은 십진법 전개의 모든 자리 수의 합이 3의 배수인 것이다. (이는 재귀적인 판정 방법이다.) 예를 들어, 258은 2 + 5 + 8 = 15; 1 + 5 = 6이므로 3의 배수이다.
* 어떤 정수가 4의 배수일 [[필요 충분 조건]]은 십진법 전개의 뒤의 두 자리 수가 4의 배수인 것이다. (다른 자리 수와 상관없다.) 예를 들어, 4316은 뒤의 두 자리 수가 16이므로 4의 배수이다.
* 어떤 정수가 5의 배수일 [[필요 충분 조건]]은 십진법 전개의 일의 자리 수가 0이나 5인 것이다. (다른 자리 수와 상관없다.) 예를 들어, 15는 일의 자리 수가 5이므로 5의 배수이다.
* 어떤 정수가 6의 배수일 [[필요 충분 조건]]은 2의 배수이면서 동시에 3의 배수인 것다. 예를 들어, 24는 일의 자리 수가 4이므로 2의 배수이며, 2 + 4 = 6이므로 3의 배수이다. 따라서 6의 배수이다.
* 어떤 정수가 7의 배수일 [[필요 충분 조건]]은, 십진법 전개의, 오른쪽부터 세 자리 수씩의 교대합이 7의 배수인 것이며, 일의 자리 수의 두 배를 나머지 자리 수에서 뺀 차가 7의 배수인 것이다. (이는 재귀적인 판정 방법이다.) 예를 들어, 1,369,851은 851 − 369 + 1 = 483; 48 - 3 × 2 = 42이므로 7의 배수이다.
* 어떤 정수가 8의 배수일 [[필요 충분 조건]]은 십진법 전개의 뒤의 세 자리 수가 8의 배수인 것이다. (다른 자리 수와 상관없다.) 예를 들어, 20120은 뒤의 세 자리 수가 120 = 8 × 15이므로 8의 배수이다.
* 어떤 정수가 9의 배수일 [[필요 충분 조건]]은 십진법 전개의 모든 자리 수의 합이 9의 배수인 것이다. (다른 자리 수와 상관없다.) 예를 들어, 2880은 2 + 8 + 8 + 0 = 18, 1 + 8 = 9이므로 9의 배수이다.
* 어떤 정수가 10의 배수일 [[필요 충분 조건]]은 십진법 전개의 일의 자리 수가 0인 것이다. 예를 들어, 5320은 일의 자리 수가 0이므로 10의 배수이다.
* 어떤 정수가 11의 배수일 [[필요 충분 조건]]은 십진법 전개의 홀수째 자리 수의 합과 짝수째 자리 수의 합이 같은지 여부이다. 예를 들어, 10241은 1 + 2 + 1 = 0 + 4이므로 11의 배수이다.
== 같이 보기 ==
* [[최소공배수]]
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* [[
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[[분류:수론]]
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