홀수와 짝수: 두 판 사이의 차이
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[[수론]]에서, '''짝수'''(-數, {{llang|en|even number}})는 [[2]]로 나누어떨어지는 [[정수]]이다. '''홀수'''(-數, {{llang|en|odd number}})는 2로 나누어떨어지지 않는 정수이다. 즉, 짝수는 0, 2, 4, 6, 8, ...과 같이 둘씩 세었을 때 남는 수가 없으며, 홀수는 1, 3, 5, 7, 9, ...와 같이 둘씩 세었을 때 1이 남는다.
==
위에서 말했듯, '''홀수'''는 2의 배수가 아닌 정수이다. 다음 정의들은 각각 이와 뜻하는 바가 같다.
* 홀수는 <math>n=2k+1</math>인 <math>k\in\mathbb Z</math>가 존재하는 <math>n\in\mathbb Z</math>이다.
* 홀수는 <math>n\equiv1\pmod2</math>를 만족시키는 <math>n\in\mathbb Z</math>이다.
* 홀수는 <math>2\mathbb Z+1</math>의 원소이다.
마찬가지로, '''짝수'''는 2의 [[배수]]인 정수이다. 다음 정의들은 각각 이와 뜻하는 바가 같다.
* 짝수는 <math>n=2k</math>인 <math>k\in\mathbb Z</math>가 존재하는 <math>n\in\mathbb Z</math>이다.
* 짝수는 <math>n\equiv0\pmod2</math>를 만족시키는 <math>n\in\mathbb Z</math>이다.
* 짝수는 <math>2\mathbb Z</math>의 원소이다.
정수가 홀수인지 짝수인지에 대한 성질을 '''홀짝성'''(-性, {{llang|en|parity|패리티}})이라고 한다.
49는 홀수이다. 49 = 2 × 24 + 1이기 때문이다. 128은 짝수이다. 128 = 2 × 64이기 때문이다. 비슷하게, 음수인 -49는 홀수이며, -128은 짝수이다. 또한, 0은 짝수인데, 이는 0 = 2 × 0이기 때문이다.
양의 홀수 전체의 수열은 다음과 같다.
:1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ... {{OEIS|A005408}}
음이 아닌 짝수 전체의 수열은 다음과 같다.
:0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ... {{OEIS|A005843}}
홀수의 집합은 다음과 같다.
:<math>2\mathbb Z+1=\{2n+1\colon n\in\mathbb Z\}</math>
양의 홀수의 집합은 다음과 같다.
:<math>2\mathbb Z_{\ge0}+1=\{2n+1\colon n\in\mathbb Z_{\ge0}\}=2\mathbb Z_{>0}-1=\{2n-1\colon n\in\mathbb Z_{>0}\}</math>
짝수의 집합은 다음과 같다.
:<math>2\mathbb Z=\{2n\colon n\in\mathbb Z\}</math>
음이 아닌 짝수의 집합은 다음과 같다.
:<math>2\mathbb Z_{\ge0}=\{2n\colon n\in\mathbb Z_{\ge0}\}</math>
== 성질 ==
두 홀수나 두 짝수의 합은 항상 짝수이며, 홀수와 짝수의 합 및 짝수와 홀수의 합은 항상 홀수이다. 즉,
* 연속된 두 정수의 합은 홀수이다.▼
* 연속된 두 정수의 곱은 짝수이다.▼
* 홀수 + 홀수 = 짝수
* 홀수 + 짝수 = 홀수
* 짝수 + 홀수 = 홀수
* 짝수 + 짝수 = 짝수
{{증명 시작}}
n, m이 정수일 때,
1. 두 홀수 2n+1, 2m+1에 대하여
(2n+1)+(2m+1)=2n+2m+2=2(n+m+1)<br>▼
(2n+1)+(2m+1)=2n+2m+2=2(n+m+1)
n+m+1 역시 정수이므로 2(n+m+1)은 짝수이다. ∴ 홀수 + 홀수 = 짝수
2. 홀수 2n+1, 짝수 2m에 대하여
(2n+1)+(2m)=2n+2m+1=2(n+m)+1<br>▼
(2n+1)+(2m)=2n+2m+1=2(n+m)+1
n+m 역시 정수이므로 2(n+m)+1은 홀수이다. ∴ 홀수 + 짝수 = 홀수
→ 덧셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수 + 홀수'역시 홀수이다.
3. 두 짝수 2n, 2m에 대하여
n+m 역시 정수이므로 2(n+m)은 짝수이다.<br>▼
∴ 짝수 + 짝수 = 짝수▼
▲=== 곱 ===
▲∴ 짝수 + 짝수 = 짝수
{{증명 끝}}
두 홀수의 곱은 홀수, 두 짝수의 곱은 짝수, 홀수와 짝수의 곱 및 짝수와 홀수의 곱은 짝수이다. 즉,
* 홀수 × 홀수 = 홀수
* 홀수 × 짝수 = 짝수
* 짝수 × 홀수 = 짝수
* 짝수 × 짝수 = 짝수
{{증명 시작}}
(증명) n, m이 정수일 때,▼
▲n, m이 정수일 때,
▲1. 두 홀수 2n+1, 2m+1에 대하여<br>
▲2mn+n+m 역시 정수이므로 2(2mn+n+m)+1은 홀수이다.<br>
∴ 홀수 × 홀수 = 홀수
2. 홀수 2n+1, 짝수 2m에 대하여
(2n+1)×(2m)=2m(2n+1)=2(2mn+m)
2mn+m 역시 정수이므로 2(2mn+m)은 짝수이다. ∴ 홀수 × 짝수 = 짝수
→ 곱셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수×홀수'역시 짝수이다.
3. 두 짝수 2n, 2m에 대하여
(2n)×(2m)=4mn=2(2mn)
2mn 역시 정수이므로 2(2mn)은 짝수이다. ∴ 짝수 × 짝수 = 짝수
{{증명 끝}}
특히, 다음과 같은 성질들이 성립한다.
* 연속된 두 정수는 항상 하나는 짝수, 하나는 홀수이다.
▲* 연속된 두 정수의 합은 홀수이다.
▲* 연속된 두 정수의 곱은 짝수이다.
* 짝수는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다. 또한, 짝수는 정수의 [[유사환]] [[아이디얼]]을 이루며, 그에 대한 [[몫환]]은 크기가 2인 [[체 (수학)|체]]를 이룬다.
어떤 정수가 홀수인지 짝수인지 다음과 같이 판정할 수 있다.
* 어떤 정수의 [[십진법]] 전개의 일의 자리 수가 짝수(0, 2, 4, 6, 8)라면, 그 정수는 짝수이다.
* 어떤 정수의 [[십진법]] 전개의 일의 자리 수가 홀수(1, 3, 5, 7, 9)라면, 그 정수는 홀수이다.
* 홀수의 [[약수]]는 항상 홀수이다.
* 짝수의 [[배수]]는 항상 짝수이다.
* 2를 제외한 [[소수 (수론)|소수]]는 항상 홀수이다.
== 응용 ==
숫자들의 묶음을 통신수단을 통해 전송할 때, 가장 원시적인 확인 방법은 수의 합이 홀수인지 짝수인지를 구별하는 것이다.
== 같이 보기 ==
* [[홀함수와 짝함수]]
* [[홀치환과 짝치환]]
[[분류:산수]]
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