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* 임의의 <math>X</math>의 순열 <math>\sigma,\tau</math>에 대하여, 그 [[함수의 합성|합성]] <math>\tau\sigma\colon x\mapsto\tau(\sigma(x))</math> 역시 <math>X</math>의 순열이다. (이는 군의 [[이항 연산|곱셈]]이며, [[결합 법칙]]을 만족한다.)
* 임의의 <math>X</math>의 순열 <math>\sigma</math>에 대하여, 그 [[역함수|역]] <math>\sigma^{-1}\colon\sigma(x)\mapsto x</math> 역시 <math>X</math>의 순열이다. (이는 군의 [[역원]] 연산이다.)
유한 집합의 순열의 홀짝성에 대하여, 다음이 성립한다.▼
* 항등 함수는 짝순열이다.▼
* 두 홀순열의 합성은 짝순열이다.▼
이에 따라, 짝순열은 대칭군의 [[부분군]] <math>\operatorname{Alt}(n)</math>을 이루며, 이를 '''[[교대군]]'''이라고 한다. 또한, 달리 말해, 순열의 부호 함수 <math>\sgn\colon\operatorname{Sym}(n)\to\{-1,1\}</math>는 [[군 준동형]]이다. 즉, 다음이 성립한다.▼
:<math>\sgn(\operatorname{id}_n)=1</math>▼
:<math>\sgn(\tau\sigma)=\sgn(\tau)\sgn(\sigma)</math>▼
:<math>\sgn(\sigma^{-1})=\sgn(\sigma)</math>▼
:<math>\operatorname{Alt}(n)=\ker\sgn\triangleleft\operatorname{Sym}(n)</math>▼
홀순열의 집합은 부분군이 아니다. 또한, <math>n=0,1</math>의 경우 홀순열이 존재하지 않는다. 그러나, <math>n\ge 2</math>의 경우 홀순열의 집합은 크기가 교대군과 같으며, 교대군의 (자기 자신을 제외하면 유일한) [[잉여류]]이다.▼
=== 분해 ===
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* <math>\sigma,\tau</math>는 서로 켤레이다.
* <math>\sigma,\tau</math>의 서로소 순환 분해의 길이와 각 순환의 길이는 각각 서로 같다.
▲유한 집합의 순열의 홀짝성에 대하여, 다음이 성립한다.
▲* 항등 함수는 짝순열이다.
* 두 홀순열의 합성은 짝순열이며, 두 짝순열의 합성 역시 짝순열이다. 홀순열과 짝순열의 합성은 홀순열이다.
달리 말해, 순열의 부호 함수 <math>\sgn\colon\operatorname{Sym}(n)\to\{-1,1\}</math>는 [[군 준동형]]이다. 즉, 다음이 성립한다.
▲:<math>\sgn(\operatorname{id}_n)=1</math>
▲:<math>\sgn(\tau\sigma)=\sgn(\tau)\sgn(\sigma)</math>
▲:<math>\sgn(\sigma^{-1})=\sgn(\sigma)</math>
▲이에 따라, 짝순열은 대칭군의 [[부분군]] <math>\operatorname{Alt}(n)</math>을 이루며, 이를 '''[[교대군]]'''이라고 한다.
▲:<math>\operatorname{Alt}(n)=\ker\sgn\triangleleft\operatorname{Sym}(n)</math>
▲홀순열의 집합은 부분군이 아니다. 또한, <math>n=0,1</math>의 경우 홀순열이 존재하지 않는다. 그러나, <math>n\ge 2</math>의 경우 홀순열의 집합은 크기가 교대군과 같으며, 교대군의 (자기 자신을 제외하면 유일한) [[잉여류]]이다.
=== 조합론적 성질 ===
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