순열: 두 판 사이의 차이
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[[파일:Rubik's cube.svg|대체글=3x3x3 루빅스 큐브|섬네일|[[루빅스 큐브]]의 면에 대한 회전은 그 면의 9개의 색깔에 대한 한 가지 순열이다.]]
[[수학]]에서, '''순열'''(順列, {{문화어|차례무이}}, {{llang|en|permutation|퍼뮤테이션}}) 또는 '''치환'''(置換)은 순서가 부여된 임의의
임의의 집합을 어떤 순열에 따라 뒤섞은 뒤 다른 어떤 순열에 따라 뒤섞은 결과는 새로운 어떤 순열에 따라 뒤섞은 결과와 같다. 즉, 임의의 두 순열에 대하여, 그 [[함수의 합성|합성]] 역시 순열이며, 임의의 집합의 순열들은 이러한 합성 연산 아래 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이라는 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 모든 원소가 순열인 군, 다시 말해 대칭군의 [[부분군]]을 '''순열군'''(順列群, {{llang|en|permutation group}}) 또는 '''치환군'''(置換群)이라고 한다. 순열군은 여러 가지 집합 위에 자연스러운 [[군의 작용]]을 주며, 이는 그 집합의 구조를 뒤섞는다.
[[조합론]]에선 이와 다른 순열의 여러 가지 정의가 사용된다. 가장 자주 쓰이는 하나는 임의의 집합에서 일정 개수의 원소를 골라 순서를 뒤섞는 연산이다. <math>n</math>개의 원소에서 <math>k</math>개의 원소를 골라 순서를 뒤섞는 연산을 '''<math>n</math>의 <math>k</math>-순열'''(-順列, {{llang|en|<math>k</math>-permutation of <math>n</math>}})이라고 하며, 의 개수는 [[하강 계승]] <math>n^{\underline k}</math>와 같다. 즉, <math>n</math> 이하의 정수들 가운데 가장 큰 <math>k</math>개를 곱한 값이다.
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:<math>\sigma|_{\langle\sigma\rangle(x)}=
\begin{cases}
\begin{pmatrix}\cdots&\sigma^{-1}(x)&x&\sigma(x)&\cdots\end{pmatrix
&|\langle\sigma\rangle(x)|\ge\aleph_0\\
\begin{pmatrix}x&\sigma(x)&\cdots&\sigma^{|\langle\sigma\rangle(x)|-1}(x)\end{pmatrix
&|\langle\sigma\rangle(x)|<\aleph_0
\end{cases}</math>
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[[조합론]]에서는 조금 더 일반화된 순열의 개념이 사용된다.
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음이 아닌 정수 <math>k</math>가 주어졌을 때, 집합 <math>X</math> 위의 '''<math>k</math>-순열'''(-順列, {{llang|en|<math>k</math>-permutation}})은 [[단사 함수]] <math>\{1,2,\dots,k\}\to X</math>이다. 특히, 유한 집합 <math>X=\{1,2,\dots,n\}</math>의 경우 이를 '''<math>n</math>의 <math>k</math>-순열'''
:<math>n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)</math>
예를 들어, 6곡의 노래 가운데 3곡을 골라 재생 목록을 만드는 방법의 수는 다음과 같다.
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