모멘트 생성 함수: 두 판 사이의 차이
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[[확률론]]과 [[통계학]]에서, 임의의 [[확률변수]] ''X''의 기댓값이 존재한다면 ''X''의 '''
:<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right)</math>, <math>\quad t \in \mathbb{R}</math>
''t'' = 0 근처에서
::<math>E\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)=\left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} M_X(t).</math>
== 계산 ==
''X''의 [[확률밀도함수]]가 <math>f(x)\ </math>이면
:<math>M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x</math>
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이때 <math>m_i\ </math>는 ''i''번째 [[모멘트 (수학)|모멘트]]이며 <math>M_X(-t)\ </math>는 <math>f(x)\ </math>의 [[양측라플라스변환]]이다.
[[확률분포]]가 연속이든 아니든 ''F''가 [[누적분포함수]]이면
::<math>M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)</math>
n개의 확률변수 <math>X_1, X_2, ... X_n\ </math>가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수 <math>a_i\ </math>에 대해서 <math>S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i</math>의 확률분포는 <math>X_i\ </math> 각자의 확률밀도함수를 [[합성곱]]한 것이며,
::<math>
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== 같이 보기 ==
* 확률이론에서
* 누적생성함수(cumulant-generating function)은
[[분류:확률론]]
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