작은 범주: 두 판 사이의 차이
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[[범주론]]에서, '''작은 범주'''(-範疇, {{llang|en|small category}})는 그 대상의 [[모임 (집합론)|모임]]과 사상의 [[모임 (집합론)|모임]]이 충분히 “작은” [[범주 (수학)|범주]]를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 [[그로텐디크 전체]]를 사용할 경우 대상과 사상의 [[집합]]이 사용되는 [[그로텐디크 전체]]의 원소이어야 한다.<ref name="Mac Lane"/>{{rp|21–26, §Ⅰ.6–7}}<ref name="Shulman"/>
== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 [[그로텐디크 전체]]를 사용하자.
[[그로텐디크 전체]] <math>\mathcal U</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal U</math>-'''작은 범주''' <math>\mathcal C</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[범주 (수학)|범주]]이다.<ref name="Mac Lane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자고리=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|22, §Ⅰ.6}}.<ref name="Shulman">{{저널 인용|제목=Set theory for category theory|이름=Michael A.|성=Shulman|날짜=2008|arxiv=0810.1279|bibcode=2008arXiv0810.1279S|언어=en}}
* <math>\mathcal C</math>의 대상들은 [[집합]] <math>\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>을 이루며, 이는 <math>\mathcal U</math>의 원소이다.
* <math>\mathcal C</math>의 사상들은 [[집합]] <math>\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>을 이루며, 이는 <math>\mathcal U</math>의 원소이다.
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<math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>의 [[시작 대상]]은 <math>\operatorname{Ob}(0)=\operatorname{Mor}(0)=\varnothing</math>인 유일한 범주 <math>0</math>이다. <math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>의 [[끝 대상]]은 <math>\operatorname{Ob}(1)=\{\bullet\}</math> ([[한원소 집합]])이며, <math>\operatorname{Mor}(1)=\{\operatorname{id}_\bullet\}</math>인 유일한 범주 <math>1</math>이다. (이를 [[준군]]으로 간주하면, 이는 [[자명군]]에 해당한다.)
<math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>는 [[데카르트 닫힌 범주]]이며, 이 경우 [[지수 대상]] <math>\hom(-,-)</math>은 (두 <math>\mathcal U</math>-작은 범주 사이의) [[함자 (수학)|함자]]와 [[자연 변환]]의 범주 <math>\hom_{\operatorname{Cat}}(-,-)</math>이다. 다시 말해, 두 <math>\mathcal U</math>-작은 범주 사이의 함자 범주는 <math>\mathcal U</math>-작은 범주이다.<ref name="ML69"/>{{rp|196}}
=== 함자 ===
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== 참고 문헌 ==
{{각주}}
▲* {{서적 인용|장=One universe as a foundation for category theory|이름=Saunders|성=Mac Lane|저자고리=손더스 매클레인|제목=Reports of the Midwest Category Seminar Ⅲ|날짜=1969|isbn= 978-3-540-04625-7 |총서=Lecture Notes in Mathematics|권=106|issn=0075-8434|doi=10.1007/BFb0059147|출판사=Springer-Verlag|쪽=192–200|editor1-first=Saunders|editor1-last=Mac Lane|editor1-link=손더스 매클레인|zbl=0211.32202|언어=en}}
== 바깥 고리 ==
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* {{nlab|id=universe enlargement|title=Universe enlargement}}
* {{nlab|id=universe polymorphism|title=Universe polymorphism}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/universe_enlargement.html | 제목=Universe enlargement | 이름=
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/130543/on-the-large-cardinals-foundations-of-categories/130639 | 제목=
On the large cardinals foundations of categories | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}
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