사차 방정식: 두 판 사이의 차이
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이 방정식에서 양변을 <math>x</math>의 최고차항인 <math>a</math>로 나눈 다음 <math>\textstyle x=y- {b \over 4a}</math> 라고 두면 <math>y^4 + p{y^2} + qy + r = 0</math> 꼴로 차 고차항을 압축 정리(zipping)할 수 있다.
<math>y^4 +p{y}^2= - qy - r </math>
▲한편, <math>( y^2 + p )^2 </math>의 완전제곱식을 풀면, <math>y^4 + 2py^2 + p^2 </math>이 되므로<br />
:<math>y^4+py^2 </math>의 나머지인<math> +py^2 + p^2</math>를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 만든다.
:<math> ( y^2 + p )^2 = p{y}^2 -qy + p^2 -r </math>이 된다.
이번에는 우변에 미지수 <math>t</math>를 제공하고 <math>y</math>와 <math>t</math>에 대해 정리하면,
:<math> \left(y^2+p+t \right)^2= \left(p+2t \right)y^2 -qy + \left(p^2+2pt + t^2-r \right)</math
우변 [[이차방정식]]의 [[판별식]], <math>D = q^2 -4 \left(p+2t\right) \left((p+ t)^2-r \right)=0 </math>이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다.
이것은 <math>t</math>에 대한 [[삼차방정식]]이므로 이것을 풀어 <math>t</math>의 3근 <math>t_1 ,t_2,t_3</math> 를 구한다음 <math>t_1</math>을 대입한다. <br />▼
<math>D= q^2 -4 (p+2t_1) (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) =0</math> 에의해<br />▼
<math>{q^2 \over {4 (p+2t_1)}} = (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) </math> 이므로,<br />▼
:<math> \left(y^2+p+t_1 \right)^2= \left(p+2t_1 \right)y^2 -qy + \left( {q^2 \over {4 (p+2t_1)}} \right)</math><br />▼
<math>(y^2 +p+t_1)^2 = (p +2t_1) \left(y- {q \over {2(p+2t_1)}} \right)^2</math>이다.<br />▼
▲이것은 <math>t</math>에 대한 [[삼차방정식]]이므로 이것을 풀어 <math>t</math>의 3근 <math>t_1 ,t_2,t_3</math> 를 구한다음 <math>t_1</math>을 대입한다.
이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다. <br />▼
이렇게, 사차방정식은 두 개의 [[완전제곱식]]의 [[이차방정식]]으로 분해된다. <br />▼
양변에 제곱근을 주고, 이항정리하면, <br />▼
▲:<math> \left(y^2+p+t_1 \right)^2= \left(p+2t_1 \right)y^2 -qy + \left( {q^2 \over {4 (p+2t_1)}} \right)</math
<!-- (cur | prev) 07:28, 26 June 2017 75.37.29.3 (talk) 감사합니다, 75.37.29.3님-->
:<math> y^2 - \sqrt{p +2t_1} y +\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}} } +p+t_1\right)=0</math
근의 공식으로부터 <math>y = {{\sqrt{p +2t_1} \pm \sqrt{ {\left(-\sqrt{p+2t_1} \right)^2} -4\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}}} +p+t_1 \right)} } \over {2a} }</math>
그리고, <math> x= y-{b \over 4a}</math>, 이므로<br />▼
4근은,<br />▼
:<math>x= -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2a} } \right) , -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2a} } \right) </math><br />
:<math> , -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2a} } \right)
, -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2a} } \right) </math
이다.
==일반적인 경우==
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