층 (수학): 두 판 사이의 차이

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal X</math> 위의, [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 값을 갖는 '''준층'''(準層, {{llang|en|presheaf|프리시프}}, {{llang|fr|préfaisceau|프레페소}})은 [[함자 (수학)|함자]] <math>\mathcal F\colon\mathcal X^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>이다. 여기서 <math>^{\operatorname{op}}</math>은 [[반대 범주]](사상의를 방향이뜻하므로, 뒤집한<math>\mathcal 범주)를F</math>는 뜻한다다시 말해 <math>\mathcal X</math>에서 <math>\mathcal C</math>로 가는 [[반변함자]]로 정의된다. 이러한 준층을 대상으로 하고, 준층 사이의 [[자연 변환]]을 사상으로 하는가지는 범주를 <math>\operatorname{PSh}(X,\mathcal C)</math>라고 한다표기한다.

대상 <math>U\in \mathcal X</math> 위에서의 준층 <math>\mathcal F\in\operatorname{PSh}(\mathcal X,\mathcal C)</math>의, 대상 <math>U\in \mathcal X</math> 위에서의 '''단면'''(斷面, {{llang|en|section}})들로 구성된 대상 <math>\Gamma(U,\mathcal F)\in\mathcal C</math>은을 다음과 같이 정의한다.

고전적인 경우는예로 <math>\mathcal X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린집합]]들의 범주 <math>\mathcal X=\operatorname{Open}(X)</math>인 경우다경우를 들 수 있다. 이 경우,

* <math>\mathcal X</math>의 대상은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다.

* 만약 두 [[열린집합]] <math>U,V \in \operatorname{Open}(X)</math>에 대하여, <math>U\subseteq hom(U,V)</math>라면은 <math>U\hom(U,subseteq V)</math>은일 경우에는 [[한원소 집합]] <math>\{\iota_{UV}\}</math>이며, 아니면나머지 경우에는 <math>\hom(U,V)=\varnothing</math>이다. 여기서 <math>\iota_{UV}\colon U\to V</math>는 포함 함수이다.

이 경우, <math>\mathcal X</math> 위의 <math>\mathcal C</math> 값을 갖는 준층 <math>\mathcal F</math>는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.

<math>\mathcal X</math> 위에 [[그로텐디크 위상]] <math>\mathfrak J</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 대상 <math>U\in\mathcal X</math>에 대하여, 덮개체들의 집합 <math>\mathcalmathfrak J(U)</math>이 존재하며, 각 덮개체 <math>\mathcal S\in\mathfrak J(U)</math>는 <math>\mathcal X</math> 위의 준층을 이룬다. 마찬가지로, 준층 사상들의 집합

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 각 [[열린집합]] <math>U\subset X</math>에 대하여 <math>\mathcal C(U)</math>를 실수 [[연속 함수]]의 집합이라고 하자. 그렇다면 <math>\mathcal C</math>는 <math>\operatorname{Open}(X)</math> 위에 층을 이룬다. 이 경우, 값을 가지는 범주는 [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>, [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>, 또는 실수 [[벡터 공간]]의 범주 <math>\operatorname{\mathbb R-\operatorname{Vect}</math>일 수 있다.

층들의 범주를 '''[[토포스]]'''라고 한다. 모든 토포스는 내부적 논리학을 가지며, 이 논리는 [[고차 논리|고차]] [[직관 논리]]의 일종이다. 토포스 이론을 사용하여, 이 논리에 '''[[크립키-주아요주아얄 의미론]]'''이라는 의미론을 부여할 수 있음이 알려졌다. 이는 [[솔 크립키]]의 크립키 의미론을 토포스에 대하여 일반화한 것이다.