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=== 다중 계승 ===
계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, '''다중 계승'''(多重階乘, {{llang|en|multifactorial}})의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 <math>k</math>과 정수 <math>n>-k</math>가 주어졌을 때, <math>n</math>의 <math>k</math>중 계승은 다음과 같다. (이는 <math>k</math>번의 계승과 다른 개념이다.)
:<math>n\overbrace{!!\cdots!}^k_k=\prod_{i=0}^{\lfloor(n-1)/k\rfloor}(n-ik)</math>
특히, <math>-k<n\le0</math>일 경우 다음과 같다.
:<math>1=0\overbrace{!!\cdots!}^k_k=(-1)\overbrace{!!\cdots!}^k_k=(-2)\overbrace{!!\cdots!}^k_k=\cdots=(-(k-1))\overbrace{!!\cdots!}^k_k</math>
예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, '''이중 계승'''(二重階乘, {{llang|en|double factorial}})은 다음과 같다. 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>(2n)!!=2^nn!=\prod_{k=1}^n2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots6\cdot4\cdot2</math>
계승·<math>k</math>중 계승·지수 계승의 [[점화식]]은 각각 다음과 같다.
:<math>n!=n(n-1)!</math>
:<math>n\overbrace{!!\cdots!}^k_k=n(n-k)\overbrace{!!\cdots!}^k_k</math>
:<math>a_n=n^{a_{n-1}}</math>