2017년 5월 7일 (일) 20:57 판 편집 뭉게구름 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 12,755 편집 잔글 훼손 문단(외분) 복구 ← 이전 편집		2017년 10월 5일 (목) 07:38 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[파일:Teilverhaeltnis-innen-aussen.svg\|대체글=주어진 비율의 내분점과 외분점의 작도법. 각각 A와 B를 지나는 두 평행선을 긋고, 그들 위에서 길이 비율이 5:3인 선분 AA', BB'를 취한 뒤, 선분 A'B' 와 AB의 교점을 취하면 된다.\|섬네일\|주어진 내/외분비의 내분점과 외분점의 작도법]] ~~{{여러 문제\|~~ [[기하학]]에서, '''내분'''(內分)은 [[선분]]을 그 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 내분하는 점을 '''내분점'''(內分點)이라고 한다. '''외분'''(外分)은 선분을 그 연장선 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 외분하는 점을 '''외분점'''(外分點)이라고 한다. ~~{{정리 필요\|날짜=2009-2-13}}~~ ~~{{출처 필요\|날짜=2009-2-13}}~~ }}▼ ~~'''내분'''과 '''외분'''은 한 좌표상의 [[선분]]을 일정한 [[비율]]로 나누는 것을 뜻한다.~~ == 내분정의 == [[파일:Teilverhaeltnis-definition.svg\|대체글=내분비와 외분비의 정의식, 그리고 내분비 또는 외분비가 2, -4, -1/4, 1, 0일 때의 예시\|섬네일\|내/외분비의 정의와 예시]] '''내분'''(內分)이란 한 좌표평면이나 좌표공간에 있는 선분을, 선분 위의 한 점이 일정한 비율로 나누는 것을 말한다. 선분을 내분하는 점을 내분점이라고 한다. 세 [[공선점]] <math>A,B,C</math> (<math>A\ne B</math>)의 '''내/외분비'''(內/外分比, {{llang\|en\|division ratio}}) <math>(A,B;C)</math>는 다음을 만족시키는 유일한 수이다. :<math>\overrightarrow{AC}=(A,B;C)\overrightarrow{CB}</math> 즉, 이는 다음과 같다. :<math>(A,B;C)= \begin{cases} \|AC\|/\|CB\|&B\ne C\in\overline{AB}\\ -\|AC\|/\|CB\|&B\ne C\not\in\overline{AB}\\ \widehat\infty&C=B \end{cases} \in(\mathbb R\setminus\{-1\})\sqcup\{\widehat\infty\}</math> == 외분성질 ==▼ 좌표평면에서의 두 점 <math>P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)</math>를 <math>m:n</math>으로 내분하는 점의 좌표는 <math>\left({mx_2+nx_1 \over m+n}, {my_2+ny_1 \over m+n}\right)</math>이다.▼ [[파일:Hyperbel-teilverhaeltnis.svg\|대체글=함수 λ=t/(1-t)의 그래프\|섬네일\|{{abs\|''AB''}} = 1일 때, ''t'' = {{abs\|''AC''}}와 ''λ'' = (''A'', ''B''; ''C'')의 관계 ''λ'' = ''t'' / (1 - ''t'')의 그래프]] [[파일:Teilverhaeltnis-vektoren.svg\|대체글=선분 AB의 내분점 T 및 직선 AB 밖의 점 O\|섬네일\|''T''를 {{overset\|⟶\|''OA''\|h}}와 {{overset\|⟶\|''OB''\|h}}의 선형 결합으로 나타낼 때의 계수(다시 말해, 좌표계 (O; {{overset\|⟶\|''OA''\|h}}, {{overset\|⟶\|''OB''\|h}}) 아래 ''T''의 좌표)는 {{overline\|''AB''}}에 대한 ''T''의 내분비를 통해 표시할 수 있다.]] 세 점의 위치 관계에 따른 내/외분비의 범위는 다음과 같다. :{\| class="wikitable" ! 위치 관계 !! 내/외분비의 범위 \|- \| <math>C</math>가 <math>A</math>와 가까운 쪽에 있음 \|\| <math>-1<(A,B;C)<0</math> \|- \| <math>C=A</math> \|\| <math>(A,B;C)=0</math> \|- \| <math>C</math>가 <math>A</math>와 <math>B</math> 사이에 있음 \|\| <math>(A,B;C)>0</math> \|- \| <math>C</math>는 <math>\overline{AB}</math>의 중점 \|\| <math>(A,B;C)=1</math> \|- \| <math>C=B</math> \|\| <math>(A,B;C)=\widehat\infty</math> \|- \| <math>C</math>가 <math>B</math>와 가까운 쪽에 있음 \|\| <math>(A,B;C)<-1</math> ▲}\|} 또 다른 점 <math>O</math>가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. :<math>\overrightarrow{OC}=\frac1{1+(A,B;C)}\overrightarrow{OA}+\frac{(A,B;C)}{1+(A,B;C)}\overrightarrow{OB}</math> == 예 == 좌표공간에서의 두 점 <math>P(x_1,y_1,z_1), Q(x_2,y_2,z_2)</math>를 <math>m:n</math>으로 내분하는 점의 좌표는 <math>\left({mx_2+nx_1 \over m+n}, {my_2+ny_1 \over m+n}, {mz_2+nz_1 \over m+n}\right)</math>이다.▼ [[삼각형]]의 [[삼각형의 중심#무게중심\|무게중심]]은 세 [[중선]]의 내분점이며, 세 중선에 대한 무게중심의 내분비는 모두 2이다. ▲~~좌표평면에서의~~좌표 공간 위의 두 점 <math>P(x_1,y_1,z_1), Q(x_2,y_2,z_2)</math>를 <math>m:n</math>으로의 비율로 내분하는 점의 좌표는 ~~<math>\left({mx_2+nx_1~~다음과 ~~\over m+n}, {my_2+ny_1 \over m+n}\right)</math>이다~~같다. 특히, 좌표평면 또는 좌표공간상의 어떤 선분을 1:1로 내분하는 점은 그 선분의 중점이라고 하며, 중점의 좌표는 <math>\left({x_2+x_1 \over 2}, {y_2+y_1 \over 2}\right)</math>이다. ▲~~좌표공간에서의 두 점 <math>P(x_1,y_1,z_1), Q(x_2,y_2,z_2)</math>를 <math>m~~:~~n</math>으로 내분하는 점의 좌표는~~ <math>\left({mx_2+nx_1 \over m+n}, {my_2+ny_1 \over m+n}, {mz_2+nz_1 \over m+n}\right)</math>~~이다.~~ 특히, 이 두 점을 잇는 선분의 [[중점]]의 좌표는 다음과 같다. :<math>\left({x_2+x_1 \over 2}, {y_2+y_1 \over 2}, {z_2+z_1 \over 2}\right)</math> 또한, 이 두 점을 <math>m:n</math>의 비율로 외분하는 점의 좌표는 다음과 같다. :<math>\left({mx_2-nx_1 \over m-n}, {my_2-ny_1 \over m-n}, {mz_2-nz_1 \over m-n}\right)</math> [[분류:~~기하학~~해석기하학]]▼ ▲== 외분 == '''외분'''(外分)이란 한 좌표평면이나 좌표공간에 있는 선분을, 선분의 연장선 위의 한 점이 일정한 비율로 나누는 것을 말한다. 선분을 외분하는 점을 외분점이라고 한다. ~~좌표평면에서의 두 점 <math>P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)</math>를 <math>m:n</math>으로 외분하는 점의 좌표는 <math>\left({mx_2-nx_1 \over m-n}, {my_2-ny_1 \over m-n}\right)</math>이다.~~ ~~{{토막글\|수학}}~~ ▲[[분류:기하학]]

내분과 외분: 두 판 사이의 차이