"삼차 방정식"의 두 판 사이의 차이

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이후에 [[허수단위]] <math>i</math>를 도입해
:<math> x^3 =15x +4</math>
:<math> x^3 -15x -4 =0 </math>
:<math> x^3 -15x -4 =0 </math> 에서 <math> x^3 + qx + p = 0 </math>의 <math> u^3 = -{q \over 2} \pm \sqrt{ \left({q \over 2}\right)^2 - \left({p \over 3}\right)^3 } </math>이므로
:<math> x^3 + px + q = 0 </math>의 <math>x=u+v</math>으로부터
:<math> xu^36 -15x -4 =0 </math> 에서 <math> x+qu^3 + qx + p = 0 </math>의 <math> u^3 = -{q \over 2} \pm \sqrt{ \left({q \over 2}\right)^2 - \left({p \over 3}\right)^3 } </math>이므로
 
:<math> -{(-4) \over 2} \pm \sqrt{ \left({(-4) \over 2}\right)^2 - \left({(-15) \over 3}\right)^3 } </math>
:<math> 3uv+p = 0 </math>
:<math> uv = -{{p}\over{3}} </math>
 
1에대한 3차방정식의 복소근을 사용해서 허수 <math>i </math>를 갖는
<!-- :<math> u\omega</math>,<math> v\omega^2 = -{{p}\over{3}} </math> ,<math> u\omega^2 v\omega = -{{p}\over{3}} </math>이므로 성질을 적용해 -->
:<math> u\omega v\omega^2 = -{{p}\over{3}} </math> ,<math> u\omega^2 v\omega = -{{p}\over{3}} </math>이므로
이 세제곱근이 곱해서 <math> -{(-15) \over 3}</math>가 되는 것은 <math>\sqrt[3]{2 + \sqrt{129} }</math> 와 <math>-\sqrt[3]{2 -\sqrt{129}} </math> 가 되므로, 3차방정식 <math>x = u+v</math> 의 근은
:<math>u^3 + v^3 =-q</math>에서
 
:<math> \omega</math>, <math>\omega^2 </math>를 적용하면,
1에대한 3차방정식의 복소근을 사용해서 허수 <math>i </math>를 갖는
:복소근 <math> \omega</math>,<math> \omega^2</math>,<math> \omega^3</math>의 성질을 적용해
 
:<math> \sqrt[3]{2 + \sqrt{129}}+ \sqrt[3]{2 - \sqrt{129}} \;\;,</math>
:<math> \sqrt[3]{2 + \sqrt{129}} \; \omega + \sqrt[3]{2 - \sqrt{129}} \; \omega^2 \;\;,</math>