"삼차 방정식"의 두 판 사이의 차이

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:<math> x = u+v</math>에서
 
:<math> u^3+v^3 = \left({2+\sqrt{129-121}} \right) + \left( {2-\sqrt{129-121}} \right)</math>
:<math> u+v = \sqrt[3]{2+\sqrt{129-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{129-121}} </math>
 
이 되지만 본베리는 이 우변은 오늘날의 공역의 복소수화 라고 생각해 음수의 제곱근 연산 규칙을 준 다음
:<math> \left(2 \pm b \sqrt{-1}\right)^3 = 2 \pm \sqrt{129-121} </math>
로부터 ''b'' = 1 을 요구하여 원 방정식이 ''x'' = 4 를 해로 가지는 것을 설명했다.
일반적으로는
:<math> \left(a \pm b \sqrt{-1}\right)^3 = 2 \pm \sqrt{129-121} </math>
로부터 ''a'', ''b'' 의 두개의 값을 요구하지 않으면 안되지만 이것을 요구하기 위해서는 다른 3차방정식이 나타나기 때문에 카르다노는 이 경우를 '''환원불능'''(casus irreducibilis)이라고 불렀다. 이 환원 불능의 경우를 회피하기 위해서 여러가지 노력이 이루어졌지만 실은 허수를 피해서 실수의 거듭제곱근과 사칙연산을 유한하게 사용하는 것으로는 해를 찾아내는 것은 불가능 하기 때문에 모두 헛수고로 끝났다.
 
:<math> x^3 -15x -4 =0 </math>
:<math> x^3 + px + q = 0 </math>의 <math>x=u+v</math>으로부터
:<math>u^6 +qu^3 +p=0</math>의 <math> u^3 = -{q \over 2} \pm \sqrt{ \left({q \over 2}\right)^2 -+ \left({p \over 3}\right)^3 } </math>이므로
 
:<math> -{(-4) \over 2} \pm \sqrt{ \left({(-4) \over 2}\right)^2 -+ \left({(-15) \over 3}\right)^3 } </math>
:<math> 2 \pm \sqrt{ (4 ) -+ (-125) } </math>
:<math> 2 \pm \sqrt{129 -121 } </math>
:<math> u^3 = 2 \pm \sqrt{129 -121 } </math>
이 세제곱근이 곱해서 <math> -{p \over 3}</math>가 되는 것을 <math> u , v</math>로 놓았으므로
:<math> 3uv+p = 0 </math>
 
<!-- :<math> u\omega v\omega^2 = -{{p}\over{3}} </math> ,<math> u\omega^2 v\omega = -{{p}\over{3}} </math>이므로 -->
이 세제곱근이 곱해서 <math> -{(-15) \over 3}</math>가 되는 것은 <math>\sqrt[3]{2 + \sqrt{129-121} }</math> 와 <math>-\sqrt[3]{2 -\sqrt{129-121}} </math> 가 되므로, 3차방정식 <math>x = u+v</math> 의 근은
:<math>u^3 + v^3 =-q</math>에서
 
:복소근 <math> \omega</math>,<math> \omega^2</math>,<math> \omega^3</math>의 성질을 적용해
 
:<math> \sqrt[3]{2 + \sqrt{129-121}}+ \sqrt[3]{2 - \sqrt{129-121}} \;\;,</math>
:<math> \sqrt[3]{2 + \sqrt{129-121}} \; \omega + \sqrt[3]{2 - \sqrt{129-121}} \; \omega^2 \;\;,</math>
:<math> \sqrt[3]{2 + \sqrt{129-121}} \; \omega^2 + \sqrt[3]{2 - \sqrt{129-121}}\; \omega</math>
이다.
 

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