"순환군"의 두 판 사이의 차이

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[[군론]]에서, '''순환군'''(循環群, {{llang|en|cyclic group}})은 하나의 원소가원소에 생성하는의하여 생성되는 [[군 (수학)|군]]이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 고정된어떤 하나의고정 원소의 거듭제곱거듭제곱이다. (가법군의 경우, 모든 정수원소는 배)이다어떤 고정 원소의 정수배이다.)
 
== 정의 ==
군의[[군 (수학)|군]]의 원소 <math>g\in G</math>가 생성하는 '''순환군''' <math>\langle g\rangle</math>은 다음과 같다.
:<math>\langle g\rangle=\{\dots,g^n\colon n\in{-2},g^{-1},1,g,g^2,\mathbb Zdots\}\le G</math>
순환군을 생성하는 원소를 '''생성 원소'''(生成元素, {{llang|en|generating element}}) 또는 '''생성원'''(生成元, {{llang|en|generator}})이라고 한다. 유한 개의 원소의 순환군을 '''유한 순환군''', 무한 개의 원소의 순환군을 '''무한 순환군'''이라고 한다.
 
=== 위수 ===
군의 원소 <math>g\in G</math>의 '''[[위수 (수학)|위수]]'''(位數, {{llang|en|order}})는 <math>g</math>가 생성하는 순환 부분군의 [[집합의 크기|크기]]이다. [[항등원]]이 되는 가장 작은 거듭제곱 지수와 같다. 즉,
군 <math>G</math>의 '''위수'''(位數, {{llang|en|order}}) <math>|G|</math>는 [[집합의 크기]]이다.
:<math>\operatorname{ord}g=|\langle g\rangle|=\min\{n\in\mathbb N\sqcup\{\aleph_0\}\colon g^n=1\}</math>
 
군의 원소 <math>g\in G</math>의 '''위수''' <math>\operatorname{ord}g</math>는 그 원소가 생성하는 순환군의 위수이다. 즉, 거듭제곱하여 [[항등원]]이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
:<math>\operatorname{ord}g=|\langle g\rangle|=
\begin{cases}
\infty&\not\exists n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1\\
\min\{n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1\}&\exists n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1
\end{cases}
\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}</math>
 
=== 지수 ===
군 <math>G</math>의 '''지수'''(指數, {{llang|en|exponent}}) <math>\exp G</math>는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
:<math>\exp G=
\begin{cases}
\infty&\not\exists n\in\mathbb Z^+\forall g\in G\colon g^n=1\\
\operatorname{lcm}_{g\in G}\operatorname{ord}g=
\min\{n\in\mathbb Z^+\colon\forall g\in G\colon g^n=1\}&
\exists n\in\mathbb Z^+\forall g\in G\colon g^n=1
\end{cases}
\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}</math>
 
== 분류 ==
순환군은 정수 군[[정수군]] 또는 그 잉여류 군과[[몫군]]과 [[동형]]이다. [[무한 순환군은집합|무한]] 정수순환군은 군과 동형이며정수군, [[유한 순환군은집합|유한]] 정수순환군은 잉여류정수군의 군과몫군과 동형이다.
:<math>\langle g\rangle\cong
:<math>\langle g\rangle\cong\begin{cases}\mathbb Z&\operatorname{ord}g=\aleph_0\\\mathbb Z/n\mathbb Z&\operatorname{ord}g=n<\aleph_0\end{cases}</math>
\begin{cases}
Z&\operatorname{ord}g=\infty\\
Z_{\operatorname{ord}g}&\operatorname{ord}g<\infty
\end{cases}
</math>
 
== 성질 ==
=== 위수와 지수 ===
순환군은 항상 [[아벨 군]]이다.
군의 유한 위수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>g^n=1</math>
* <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>
{{증명 시작}}
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이라면, <math>n=n'\operatorname{ord}g</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, <math>g^n=(g^{\operatorname{ord}g})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다.
* '''(⇒)''' <math>g^n=1</math>이라면, <math>n</math>과 <math>\operatorname{ord}g</math>의 나머지 있는 나눗셈을 <math>n=q\operatorname{ord}g+r</math>라고 하면, <math>g^r=g^ng^{-\operatorname{ord}g}=1</math>이므로, 위수의 정의에 따라 <math>r=0</math>이다. 즉, <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이다.
{{증명 끝}}
지수가 유한한 군 <math>G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 임의의 <math>g\in\mathbb G</math>에 대하여, <math>g^n=1</math>
* <math>\exp G\mid n</math>
{{증명 시작}}
* '''(⇐)''' <math>\exp G\mid n</math>이라면, <math>n=n'\exp G</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>g^n=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다.
* '''(⇒)''' 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^n=1</math>이라면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이므로, 지수의 정의에 따라 <math>\exp G\mid n</math>이다.
{{증명 끝}}
군의 유한 위수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}g^n=\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math>
{{증명 시작}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname{ord}g^n\mid\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math>
** 증명: <math>(g^n)^\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}=(g^{\operatorname{ord}g})^\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}=1^\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}=1</math>
* <math>\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\operatorname{ord}g^n</math>
** 증명: <math>1=(g^n)^{\operatorname{ord}g^n}=g^{n\operatorname{ord}g^n}</math>이므로, <math>\operatorname{ord}g\mid n\operatorname{ord}g^n</math>이므로, <math>\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\operatorname{ord}g^n</math>이므로, <math>\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\operatorname{ord}g^n</math>
{{증명 끝}}
군의 원소 <math>g,h\in G</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>gh=hg</math>
* <math>\gcd\{\operatorname{ord}g,\operatorname{ord}h\}=1</math>
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
{{증명 시작}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname{ord}(gh)\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
** 증명: <math>(gh)^{\operatorname{ord}(gh)}=(g^{\operatorname{ord}g})^{\operatorname{ord}h}(h^{\operatorname{ord}h})^{\operatorname{ord}g}=1^{\operatorname{ord}h}1^{\operatorname{ord}g}=1</math>
* <math>\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>
** 증명: <math>1=(gh)^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}=h^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 비슷하게, <math>\operatorname{ord}g\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 따라서, <math>\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)</math>이다.
{{증명 끝}}
반대로, 군의 원소 <math>x\in G</math>의 위수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
:<math>\operatorname{ord}x=mn\qquad(\gcd\{m,n\}=1)</math>
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 <math>g,h\in G</math>가 존재한다.
* <math>x=gh=hg</math>
* <math>\operatorname{ord}g=m</math>
* <math>\operatorname{ord}h=n</math>
{{증명 시작}}
[[베주 항등식]]에 따라, 다음 조건을 만족시키는 <math>u,v\in\mathbb Z</math>가 존재한다.
:<math>1=mu+nv</math>
조건을 만족시키는 <math>g,h\in G</math>를 다음과 같이 취할 수 있다.
:<math>g=x^{nv}</math>
:<math>g=x^{mu}</math>
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname{ord}g\mid m</math>, <math>\operatorname{ord}h\mid n</math>
** 증명: <math>g^m=(x^{nv})^m=(x^{mn})^v=1^v=1</math>
* <math>m\mid\operatorname{ord}g</math>, <math>n\mid\operatorname{ord}h</math>
** 증명: <math>mn=\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
{{증명 끝}}
[[유한군|유한]] [[아벨 군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>g\in G</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g</math>
즉, <math>G</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\max_{g\in G}\operatorname{ord}g=\exp G</math>
{{증명 시작}}
최대 위수 원소 <math>g\in G</math>를 취하자. 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{ord}h\nmid\operatorname{ord}g</math>
라고 가정하자. 그렇다면,
:<math>v_p(\operatorname{ord}g)<v_p(\operatorname{ord}h)</math>
를 만족시키는 소인수 <math>p\mid\operatorname{ord}h</math>가 존재한다. 이 경우,
:<math>\operatorname{ord}g^{p^{v_p(\operatorname{ord}g)}}=\frac{\operatorname{ord}g}{p^{v_p(\operatorname{ord}g)}}</math>
:<math>\operatorname{ord}h^\frac{\operatorname{ord}h}{p^{v_p(\operatorname{ord}h)}}=p^{v_p(\operatorname{ord}h)}</math>
이므로,
:<math>\operatorname{ord}\left(g^{p^{v_p(\operatorname{ord}g)}}h^\frac{\operatorname{ord}h}{p^{v_p(\operatorname{ord}h)}}\right)=p^{v_p(\operatorname{ord}h)-v_p(\operatorname{ord}g)}\operatorname{ord}g>\operatorname{ord}g</math>
이며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}
 
=== 순환군 ===
원소 개수가 [[소수 (수론)|소수]]인 군은 유일하게 순환군이자 [[단순군]]이다.
모든 순환군은 [[유한 생성 아벨 군]]이다.
 
군 <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
순환군 <math>\langle g\rangle</math>의 부분군은 항상 순환군이다. 순환군의 부분군의 집합은 정확히 다음과 같다.
* <math>|G|</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다.
:<math>\begin{cases}
* <math>G</math>는 순환군이자 [[단순군]]이다.
\{\langle g^n\rangle\colon n\in\mathbb N\}&\operatorname{ord}g=\aleph_0\\
순환군의 [[부분군]] 역시 순환군이다. 구체적으로, <math>\langle g\rangle</math>의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
\{\langle g^n\rangle\colon n\mid\operatorname{ord}g\}&\operatorname{ord}g\in\mathbb N
:<math>\langle g^n\rangle\qquad
\end{cases}</math>
\begin{cases}
이에 따라, 무한 순환군의 부분군은 자연수와 일대일 대응하며, 유한 순환군의 부분군은 위수의 [[약수]]와 일대일 대응한다.
n\in\mathbb Z&\operatorname{ord}g=\infty\\
n\mid\operatorname{ord}g&\operatorname{ord}g<\infty
\end{cases}
</math>
순환군의 [[몫군]] 역시 순환군이다.
 
순환군 <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> 및 <math>\mathbb Z/m\mathbb ZZ_m,Z_n</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다동치이다.
* <math>Z_m\gcdoplus Z_n\cong Z_{\operatorname{ord}g,\operatorname{ord}h\mn}=1</math>
* <math>\mathbb Z/ngcd\mathbb Z\times\mathbb Z/{m,n\mathbb Z}=\mathbb Z/nm\mathbb Z1</math>
[[유한군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathbb Z/n\mathbb Z\times\mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z/k\mathbb Z</math>인 <math>k\in\mathbb N</math>이 존재한다.
* <math>G</math>는 순환군이다.
* 임의의 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>|\{x\in G\colon x^m=1\}|\le m</math>이다.
{{증명 시작}}
[[실로우 정리]]를 사용하여 증명할 수 있다.
{{증명 끝}}
[[코시 정리]]에 따르면, 임의의 소인수 <math>p\mid|G|</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}g=p</math>인 <math>g\in G</math>가 존재한다.
 
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cyclic group}}
* {{eom|title=Order}}
* {{eom|title=Exponent of a group}}
* {{매스월드|id=CyclicGroup|title=Cyclic group}}
* {{매스월드|id=GroupOrder|title=Group order}}
* {{nlab|id=cyclic group|title=Cyclic group}}
* {{nlab|id=order of a group|title=Order of a group}}
 
* {{nlab|id=exponent of a group|title=Exponent of a group}}
{{토막글|수학}}
* {{groupprops|title=Cyclic group}}
* {{groupprops|title=Order of a group}}
* {{groupprops|title=Exponent of a group}}
* {{플래닛매스|urlname=CyclicGroup|title=Cyclic group}}
* {{플래닛매스|urlname=orderofagroup|title=Order (of a group)}}
* {{플래닛매스|urlname=Exponent|title=Exponent}}
 
[[분류:아벨 군론]]
[[분류:유한군]]