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{{증명 끝}}
[[코시 정리]]에 따르면, 임의의 소인수 <math>p\mid|G|</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}g_p=p</math>인 <math>g_p\in G</math>가 존재한다.
 
== 응용 ==
=== 아벨 유한군의 분해 ===
{{본문|아벨 군}}
아벨 유한군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. <math>G</math>가 아벨 유한 [[p-군]], <math>a\in G</math>가 그 최대 위수 원소라고 하자. 그렇다면, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>인 <math>B\le G</math>가 존재한다.
{{증명 시작}}
이제 <math>G</math>와 <math>a\in G</math>가 <math>|G|\ge2</math>가 가장 작은 반례라고 하자. (1의 경우 반례가 아님이 자명하다.) 그렇다면, 최소 위수 원소 <math>b\in G\setminus\langle a\rangle</math>를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
* <math>\operatorname{ord}b=p</math>
** 증명: 그렇지 않다면, <math>\operatorname{ord}b=p^e</math> (<math>e\ge2</math>)이며, <math>\operatorname{ord}b^p=p^{e-1}</math>이므로, <math>b^p\in\langle a\rangle</math>이다. <math>b^p=a^n</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>)이라고 하자. 그렇다면, <math>\frac{\operatorname{ord}a}{\gcd\{\operatorname{ord}a,n\}}=\operatorname{ord}b^p<\operatorname{ord}b\le\operatorname{ord}a</math>이므로, <math>p\mid n</math>이다. 따라서, <math>(ba^{-\frac np})^p=1_G</math>이며, <math>ba^{-\frac np}\in G\setminus\langle a\rangle</math>인데, 이는 <math>b</math>의 선택과 모순이다.
* <math>\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>
** 증명: <math>1_G\ne a^m=b^n\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle</math> (<math>0\le n<p</math>)라고 하자. 그렇다면, <math>1=nu+pv</math>인 <math>u,v\in\mathbb Z</math>가 존재하며, <math>b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in\langle a\rangle</math>이다. 이는 모순이다.
* <math>a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle</math>은 최대 위수 원소이다.
** 증명: 우선 <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)\mid\operatorname{ord}a</math>이다. <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)<\operatorname{ord}a</math>라고 가정하면, <math>(a\langle b\rangle)^\frac{\operatorname{ord}a}p=1</math>이므로, <math>a^\frac{\operatorname{ord}a}p\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>이다. 이는 모순이다.
* <math>G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)</math>인 <math>\langle b\rangle\subseteq B\le G/\langle b\rangle</math>가 존재한다.
** 증명: <math>|G/\langle b\rangle|=|G|/p<|G|</math>
* <math>G=\langle a\rangle\times B</math>
** 증명: 우선, <math>G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle</math>이므로, <math>G=\langle a\rangle B</math>이다. 또한, <math>(\langle a\rangle\cap B)/\langle b\rangle\subseteq(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\cap(B/\langle b\rangle)=\{\langle b\rangle\}</math>이므로, <math>\langle a\rangle\cap B\subseteq\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>이며, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>이다.
 
{{증명 끝}}
 
== 외부 링크 ==