"순환군"의 두 판 사이의 차이

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* <math>G</math>는 순환 [[단순군]]이다.
* <math>G</math>는 [[아벨 군|아벨]] 단순군이다.
{{증명 시작}}
* '''소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군:''' <math>|G|</math>가 소수라면, [[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]에 따라, 그 부분군은 <math>\{1_G\},G</math>밖에 없으므로, <math>G</math>는 단순군이다. <math>1_G\ne g\in G</math>를 취하자. 그렇다면, <math>|\langle g\rangle|=p</math>이므로, <math>\langle g\rangle=G</math>이다. 즉, <math>G</math>는 순환군이다.
* '''순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군:''' 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
* '''아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군:''' <math>|G|</math>가 소수가 아니라고 가정하자. <math>G</math>가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, <math>G</math>는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. <math>G</math>가 순환군이 아닌 경우, 임의의 <math>1_G\ne g\in G</math>를 취하자. 그렇다면, <math>\langle g\rangle\triangleleft G</math>이며, <math>\langle g\rangle\ne1,G</math>이므로, <math>G</math>는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.
{{증명 끝}}
순환군의 [[부분군]] 역시 순환군이다. 구체적으로, <math>\langle g\rangle</math>의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
:<math>\langle g^n\rangle\qquad