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** 증명: <math>1_G\ne a^m=b^n\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle</math> (<math>0\le n<p</math>)라고 하자. 그렇다면, <math>1=nu+pv</math>인 <math>u,v\in\mathbb Z</math>가 존재하며, <math>b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in\langle a\rangle</math>이다. 이는 모순이다.
* <math>a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle</math>은 최대 위수 원소이다.
** 증명: 우선 <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)\mid\operatorname{ord}a</math>이다. <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)<\operatorname{ord}a</math>라고 가정하면, <math>(a\langle b\rangle)^\frac{\operatorname{ord}a}p=1</math>이므로, <math>a^\frac{\operatorname{ord}a}p\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>이다. 이는 모순이다. 따라서 <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)=\operatorname{ord}a</math>이며, <math>a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle</math>은 최대 위수 원소이다.
* <math>G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)</math>인 <math>\langle b\rangle\subseteq B\le G/\langle b\rangle</math>가 존재한다.
** 증명: <math>|G/\langle b\rangle|=|G|/p<|G|</math>