"기약 다항식"의 두 판 사이의 차이

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(원시 다항식을 합침)
[[수학]]에서, '''기약다항식기약 다항식'''(旣約多項式,{{llang|en|Irreducibleirreducible polynomial}})은 더 낮은 [[차수]]의 다항식의[[다항식]]의 [[곱]]으로 표시되지 않는 [[다항식]]이다.
 
== 정의 ==
즉 기약다항식은 더이상 [[인수분해]]할 수 없는 다항식이다.
<math>R</math>가 [[정역]]이라고 하자.
 
차수 1 이상의 [[다항식]] <math>p(x)\in R[x]\setminus R</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''기약 다항식'''이라고 한다.
반대로 [[인수분해]]가 가능한 다항식을 가약다항식이라고 한다.
* ([[기약원]]) 임의의 <math>q(x),r(x)\in R[x]</math>에 대하여, <math>p(x)=q(x)r(x)</math>라면, <math>\deg q(x)=0</math>이거나 <math>\deg r(x)=0</math>이다.
 
=== 원시 다항식 ===
모든 일차다항식은 모두 기약다항식이다.
<math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라고 하자.
 
[[다항식]] <math>0\ne p(x)\in R[x]</math>의 '''내용'''(內容, {{llang|en|content}}) <math>\operatorname c_R(p(x))</math>은 계수의 [[최대 공약수]]이다.
기약다항식은 [[정수]]에서 [[소수]]([[기약수]])와 같은 것이다.
:<math>\operatorname c(p(x))=\gcd\{p_0,\dots,p_{\deg p}\}</math>
내용이 [[가역원]]인 다항식(즉, 계수가 [[서로소 정수|서로소]]인 다항식)을 '''원시 다항식'''이라고 한다.
 
== 성질 ==
[[정수]]가 [[소수]]로 유일하게 인수분해를 할 수 있듯이 [[다항식]]도 기약다항식으로 유일하게 인수분해를 할 수 있다.
=== 가우스 보조정리 ===
다항식 <math>p(x),q(x)\in R[x]</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname c(p(x)q(x))=\operatorname c(p(x))\operatorname c(q(x))</math>
특히, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 이를 '''가우스 보조정리'''(Gauß補助定理, {{llang|en|Gauss's lemma}})라고 한다.
{{증명 시작}}
두 원시다항식 <math>f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i,</math> <math>g(x) = \sum_{j=0}^m b_jx^j</math>의 곱
:<math>f(x)g(x) = \sum_{k=0}^{m+n} c_kx^k,\quad c_k = \sum_{i+j=k} a_ib_j</math>
이 원시다항식이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 <math>c_k</math>의 [[공약수]]로 존재한다.
:<math>s = \min\{i : p \nmid a_i\},\quad t = \min\{j : p \nmid b_j\}</math>
라고 하면, <math>p \nmid a_s,</math> <math>p \nmid b_t</math>이고, 임의의 <math>i < s,</math> <math>j < t</math>에 대해 각각 <math>p \mid a_i,</math> <math>p \mid b_j</math>이다. <math>c_{s+t}</math>의 전개에서, <math>a_sb_t</math> 외의 남은 항 <math>a_ib_j</math>는 <math>i < s</math> 또는 <math>j < t</math>를 만족하므로(그렇지 않으면 <math>i + j > s + t</math>이어서 모순이다), 모두 <math>p \mid a_ib_j</math>이다. <math>p \mid c_{s+t}</math>도 성립함에 따라 <math>p \mid a_sb_t</math>이다. 따라서 <math>p \mid a_s</math> 또는 <math>p \mid b_t</math>이며, 이는 모순이다. 그러므로 가정은 참이 아니며, <math>f(x)g(x)</math>는 원시다항식이다.
{{증명 끝}}
 
=== 환론적 성질 ===
{{토막글|수학}}
<math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라고 하자. 다항식 <math>p(x)\in R[x]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p(x)</math>는 <math>R[x]</math>에서 기약 다항식이다.
* <math>p(x)</math>는 <math>(\operatorname{Frac}R)[x]</math>에서 기약 다항식이다.
 
=== 기약성 판정법 ===
다항식의 기약성의 판정법에는 [[아이젠슈타인 판정법]]이 있다.
 
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Irreducible polynomial}}
 
[[분류:대수학]]