"절댓값"의 두 판 사이의 차이

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{{다른 뜻|절댓값 (대수학)|실수와 복소수의 표준적인 절댓값|[[추상대수학]]과 [[대수적 수론]]에서의 개념}}
[[파일:Absolute value.svg|thumb섬네일|실수 절댓값 함수함수의 [[함수의 그래프|그래프]]]]
[[수학]]에서 '''절댓값'''(絶對-, {{llang|en|absolute value}})이란, 어떤 [[실수]] a를 [[수직선]]에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 <math>|a|</math>로 나타낸다.
[[수학]]에서, '''절댓값'''(絶對-, {{llang|en|absolute value}})은 [[실수]]가 [[실수선]]의 [[원점]]과, [[복소수]]가 [[복소평면]]의 원점과 떨어진 거리를 나타내는 음이 아닌 실수이다. 이는 [[선형대수학]]의 [[노름]]과 [[추상대수학]]의 [[절댓값 (대수학)|절댓값]]으로 확장시킬 수 있다.
 
== 실수정의 ==
절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다.
=== 실수의 경우 ===
[[파일:AbsoluteValueDiagram.svg|섬네일|실수선 위에서, 실수 -3과 실수 0 사이의 거리는 3이다.]]
[[실수]] 대해,<math>x\in\mathbb R</math>의 절댓값 <math>|zx|\in[0,\infty)</math> 다음과 같이 정의된다.
:<math>|x|=\sqrt{x^2}=\begin{cases}x&x>0\\0&x=0\\-x&x<0\end{cases}</math>
여기서
* <math>x^2</math>는 <math>x</math>의 [[제곱]]이다.
* <math>\sqrt{x^2}</math>는 <math>x^2</math>의 [[주 제곱근]]이다.
* <math>-x</math>는 <math>x</math>의 [[반수 (수학)|반수]]이다.
즉, 실수의 절댓값은 그 실수의 숫자 부분만 남겨두고 부호를 버려 얻는 음이 아닌 실수이다. [[실수선]] 위에서 보면, 이는 실수와 0 사이의 거리와 같다.
 
=== 복소수의 경우 ===
그리고 [[복소수]], [[사원수]], [[벡터 (선형대수학)|벡터]] 등에 대해서도 절댓값을 일반화시킬 수 있다.
[[파일:Complex_conjugate_picture.svg|섬네일|복소평면 위에서, 복소수 ''z''의 절댓값은 원점과의 거리 ''r''와 같다. 모든 복소수 ''z''의 절댓값과 그 켤레 복소수 {{overset|—|''z''}}의 절댓값은 서로 같다.]]
[[복소수]] <math>z\in\mathbb C</math>의 절댓값 <math>|z|\in[0,\infty)</math>은 다음과 같이 정의된다.
:<math>|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{(\operatorname{Re}z)^2+(\operatorname{Im}z)^2}</math>
여기서
* <math>\bar z</math>는 <math>z</math>의 [[켤레 복소수]]이다.
* <math>\operatorname{Re}z</math>는 <math>z</math>의 [[실수부]]이다.
* <math>\operatorname{Im}z</math>는 <math>z</math>의 [[허수부]]이다.
즉, [[복소평면]]에 놓인 복소수의 절댓값은 그 복소수와 원점 사이의 거리를 [[피타고라스 정리]]를 사용하여 구한 것과 같다.
 
이는 실수의 절댓값의 정의와 호환된다. 모든 실수 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, 이를 복소수로 여겼을 때, 그 켤레 복소수는 자기 자신과 같다. 즉,
== 실수 ==
:<math>|a| \ge 0bar x=x</math>
[[파일:Absolute value.svg|thumb|절댓값 함수]]
이다. 따라서,
어떠한 [[실수]] a의 절댓값은 <math>|a| \,</math>로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.
:<math>|a| := \beginsqrt{cases} a, & x\mbox{ifbar x} a =\ge 0 \\ -a, & \mboxsqrt{if xx} a < 0. =\endsqrt{casesx^2} </math>
이다. 즉, <math>x</math>의 실수로서의 절댓값과 복소수로서의 절댓값은 서로 같다. 다른 관점에서, 실수선은 복소평면의 좌표축으로 여길 수 있는데, 이 경우 실수와 원점 사이의 거리는 실수선에 국한되어서 보는지 복소평면에서 보는지와 무관하다. 따라서 실수의 절댓값은 복소수의 절댓값의 특수한 경우이다.
 
== 각주성질 ==
정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 [[0]] 이상이다. 따라서 절댓값이 가장 작은 수는 [[0]]이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.
실수를 <math>x,y,a</math>, (실수일 수도 아닐 수도 있는) 복소수를 <math>z,w</math>로 나타내자. 그렇다면, 절댓값의 성질을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
 
=== 부등식 ===
:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
복소수의 절댓값은 0 이상이다.
:<math>|az| = \sqrt{a^2}ge0</math>
복소수의 절댓값은 [[양의 정부호성]]을 만족시킨다.
:<math>|az| = 0 \iff a z= 0 </math>
실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 실수 부등식의 해는 다음과 같다.
:<math>|ax| \le b a\iff -b a\le a x\le b a</math>
:<math>|x-3| <a\le 9 iff-a<x<a</math>
:<math>|x|=a\iff\begin{cases}x=\pm a&a\ge0\\x\in\varnothing&a<0\end{cases}</math>
:<math>|x|>a\iff -6 x>a\lelor x \le 12 <-a</math>
:<math>|ax| \ge b a\iff a x\le -bge a\mbox{ or } blor x\le -a </math>
복소수의 절댓값은 [[삼각 부등식]]을 만족시킨다.
:<math>|a|z|-b| w||\ge le|az+w| - \le|z|+|bw| </math>
 
=== 항등식 ===
:<math>|a| \ge 0 </math>
복소수의 절댓값은 곱셈·나눗셈은 교환 가능하다.
:<math>|a| = 0 \iff a = 0 </math>
:<math>|abzw| = |az|\cdot|bw|\,</math>
:<math>|a+bz/w| \le =|az| + /|bw| \qquad(w\ne0)</math>
복소수 절댓값 함수는 [[멱등 함수|멱등]] [[짝함수]]이다.
:<math>||z ||= x + yi\,|z|</math>
:<math>|a-z| = \sqrt{a^2}|z|</math>
 
=== 해석학적 성질 ===
:<math>|-a| = |a|\,</math> (대칭성)
실수 절댓값 함수는 0이 아닌 모든 실수점에서 [[해석 함수]]이다. 복소수 절댓값 함수는 모든 복소수에서 [[연속 함수]]이지만, 모든 복소수점에서 비(非) [[복소 미분 가능 함수]]이다.
:<math>|a - b| = 0 \iff a = b </math>
:<math>|a - b| \le |a - c| +|c - b| </math> (삼각부등식)
:<math>\left|{a\over b} \right| = {|a| \over |b|} \mbox{ (if } b \ne 0) \,</math>
:<math>|a-b| \ge |a| - |b| </math>
 
== 참고 문헌 ==
:<math>(|a|)^2 =(|a|)^2, (|-a|)^2 = \left( \sqrt{a^2} \right)^2 = a^2 \;(\because |a| = \sqrt{a^2} \;,\; |-a| = |a|\,)</math>
:<math>|a^2| = \sqrt{ \left( a^2 \right)^2} </math>
또한, 다음 식은 유용하게 사용된다.
:<math>|a| \le b \iff -b \le a \le b </math>
:<math>|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a </math>
 
이 식을 이용하면 절댓값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.
:<math>|x-3| \le 9 </math>
:<math>\iff -9 \le x-3 \le 9 </math>
:<math>\iff -6 \le x \le 12 </math>
 
== 복소수 ==
[[복소수]]중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에<ref>복소수에도 임의의 순서를 줄 순 있지만, 그렇게 정의한 절댓값은 직관적으로 말하는 크기와 대부분 상반된다.</ref>, 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인
:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
를 이용할 수 있다.
 
임의의 복소수
:<math>z = x + yi\,</math>
에 대해, 절댓값 <math>|z|,</math>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>|z| := \sqrt{x^2 + y^2}.</math>
 
이렇게 정의하면, 앞의 절댓값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.
:<math> |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.</math>
 
이때 [[피타고라스의 정리]]에 따라 절댓값은 [[원점]]과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절댓값이 된다.
 
== 각주 ==
{{각주}}
 
==참고 문헌==
* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
* {{MacTutor|id=Argand|title=Jean Robert Argand}}
{{토막글|수학}}
 
[[분류:노름]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:실수]]
[[분류:노름복소수]]