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복소수의 절댓값은 [[양의 정부호성]]을 만족시킨다.
:<math>|z|=0\iff z=0</math>
복소수의 절댓값은 [[삼각 부등식]]을 만족시킨다.
:<math>||z|-|w||\le|z+w|\le|z|+|w|</math>
:<math>|z+w|=|z|+|w|\iff z\bar w\ge0</math>
실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 실수 부등식의 해는 다음과 같다.
:<math>|x|\le a\iff-a\le x\le a</math>
:<math>|x|>a\iff x>a\lor x<-a</math>
:<math>|x|\ge a\iff x\ge a\lor x\le-a</math>
복소수의 절댓값은 [[삼각 부등식]]을 만족시킨다.
:<math>||z|-|w||\le|z+w|\le|z|+|w|</math>
:<math>|z+w|=|z|+|w|\iff z\bar w\ge0</math>
 
=== 항등식 ===
:<math>\frac{|z|-|z_0|}{z-z_0}=\frac1{|z|+|z_0|}\left(z\frac\overline{z-z_0}{z-z_0}+\bar z_0\right)\qquad(z_0\in\mathbb C)</math>
가 <math>z\to z_0</math>에서 항상 발산하기 때문이다.
 
== 응용 ==
=== 복소수의 극형식 ===
{{본문|극형식}}
0이 아닌 복소수에 대하여, 절댓값은 복소수가 원점으로부터 떨어진 거리, 편각은 복소수가 가로축으로부터 회전한 각도를 뜻하므로, 0이 아닌 복소수는 절댓값과 편각으로부터 유일하게 결정된다. 구체적으로, 복소수 <math>z\ne0</math>는 절댓값 <math>|z|</math>과 [[편각 (수학)|편각]] <math>\operatorname{arg}z</math>을 사용하여 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 이를 복소수의 극형식이라고 한다.
:<math>z=|z|(\cos\operatorname{arg}z+i\sin\operatorname{arg}z)=|z|e^{i\operatorname{arg}z}</math>
 
=== 거리 공간 구조 ===
실수의 절댓값이 0과의 거리를 뜻하듯이, 실수선 위의 두 실수 <math>x,y</math> 사이의 거리 <math>d(x,y)</math>는 절댓값을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>d(x,y)=|x-y|=\begin{cases}x-y&x>y\\0&x=y\\y-x&x<y\end{cases}</math>
보다 일반적으로, 복소수의 절댓값이 원점과의 거리를 뜻하듯이, 복소평면 위의 두 복소수 <math>z,w</math> 사이의 거리 <math>d(z,w)</math>는 절댓값을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>d(z,w)=|z-w|=\sqrt{(\operatorname{Re}z-\operatorname{Re}w)^2+(\operatorname{Im}z-\operatorname{Im}w)^2}</math>
이는 복소평면 위의 두 점의 연결선을 빗변으로 하고, 두 빗변이 각각 두 좌표축과 평행하는 직각 삼각형에 [[피타고라스 정리]]를 적용한 결과와 같다. [[추상대수학]]의 관점에서, 실수와 복소수의 절댓값은 모두 [[거리 공간]] 구조를 부여한다. 사실, 절댓값은 [[노름 공간]] 구조를 부여하며, 모든 노름 공간은 표준적인 거리 공간 구조를 갖춘다.
 
== 관련 개념 ==
=== 노름 ===
{{본문|노름}}
[[노름]]은 [[벡터 공간]]에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, [[양의 정부호성]]을 만족시키며, [[양의 동차성]]을 만족시키며, [[삼각 부등식]]을 만족시키는 [[함수]]이다. 실수체와 복소수체는 벡터 공간의 특수한 경우이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 노름의 특수한 경우이다. 모든 노름 <math>x\mapsto\Vert x\Vert</math>는 표준적인 [[거리 함수]] <math>(x,y)\mapsto\Vert x-y\Vert</math>를 유도한다.
 
=== 정역 위의 절댓값 ===
{{본문|절댓값 (대수학)}}
[[정역]] 위의 절댓값은, [[정역]]에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, [[양의 정부호성]]을 만족시키며, 곱셈을 보존하며, [[삼각 부등식]]을 만족시키는 함수이다. 모든 [[체 (수학)|체]]는 [[정역]]이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 정역 위의 절댓값의 특수한 경우이다. 모든 정역 위의 절댓값 <math>x\mapsto|x|</math>는 표준적인 [[거리 함수]] <math>(x,y)\mapsto|x-y|</math>를 유도한다.
 
== 참고 문헌 ==