"포물선"의 두 판 사이의 차이

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('역사' 부분에 토목공학에서 쓰이는 사례 추가함)
== 개요정의 ==
[[파일:Parabola_with_focus_and_directrix.svg|250픽셀|섬네일|포물선 위의 점은 [[초점 (기하학)|초점]] ''F''와 [[준선]] ''L''에 이르는 거리가 같다, 즉 ''P<sub>i</sub>F'' = ''P<sub>i</sub>Q<sub>i</sub>'' (''i'' = 1, 2, 3)]]
 
'''포물선'''(抛物線, {{문화어|팔매선}}, {{llang|en|parabola}})은 평면에서 어떤점과 [[점 (기하학)|점]] <math>F</math>와 <math>P</math>를점을 지나지 않는 [[직선]]직선에 <math>l\,</math>이이르는 주어졌을거리가 때,같은 <math>F</math>에 이르는점과 거리와 <math>l\,</math>에직선을 이르는포함하는 [[거리]]가평면 같은위의 점들의점의 자취이다. 이때 <math>F</math>를 [[초점 (기하학)|초점]],점을 <math>l\,</math>을 [[준선]](準線,포물선의 초점이라 하고 그 직선을 그 포물선의 directrix)이라고준선이라 한다. 포물선은그리고 어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 준선에 수직이고 그 포물선의 초점을 지나는 직선에직선을 대해 [[선대칭|대칭]]인데포물선의 축이라고 직선을하는데 그 포물선의 축이라고축은 하고, 축과포물선을 대칭시키는 유일한 직선이다. 또 어떤 포물선에 대하여 그 포물선과 그 포물선의 축의 교점을 포물선의 꼭짓점이라고 하기하는데 때문이다그 포물선의 꼭짓점은 그 포물선의 초점과 가장 가까운 그 포물선 위의 유일한 점이다.<ref>정달영 외,다시 《쉬운말해 미분적분학》, 숭실대학교출판부,포물선의 2009년,초점을 ISBN중심으로 978-89-7450-235-5,하고 82쪽</ref>그 포물선의 초점과 그 포물선의 꼭짓점을 양끝점으로 하는 선분을 반지름으로 하는 원과 그 포물선의 교점은 그 포물선의 꼭짓점으로 유일하다.
 
== [[직교 좌표계|좌표평면]]에서의 포물선 ==
포물선은 [[원 (기하학)|원]], [[타원]], [[쌍곡선]]과 함께 [[원뿔 곡선]]으로 불린다. 이들은 모두 [[원뿔]]을 [[평면]]으로 자를 때 생기는 자취이기 때문이다.<ref name="EVE156">Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 156-157 쪽</ref>
 
== 개요 ==
[[파일:The distance between a point of parabola curve and focus or directrix.svg|thumb|300px|포물선 위의 한 점에서 초점 또는 준선과의 거리]]
 
초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선이 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> x^2 = 4ay</math>이고 초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> y^2 = 4ax </math>이다.
포물선은 [[유클리드 공간|유클리드 평면]]에서 초점과 준선에 이르는 거리가 같은 점들의 자취이다. [[직교좌표계]]에서 준선이 x축에 [[평행]]하고 원점을 꼭지점으로 하는 포물선을 생각할 때, 초점은 y축 위의 한 점이 된다. 그림과 같이 초점 <math>F(0,a)</math>와 준선 <math>l, y = - a</math>가 있다고 할 때 포물선 위의 한 점 <math>P(x,y)</math>에서 초점 또는 준선까지의 거리는 아래와 같다.<ref name="George21">Geoge F. Simmons, 고석구 외 역, 《미적분학과 해석기하》, 경문사, ISBN 89-7282-435-6, 21-22쪽</ref>
 
: 점 <math>P</math>와 초점 <math>F</math>의 거리: <math> \sqrt{ x^2 + ( y - a )^2 }</math><ref group="주해">[[피타고라스의 정리]]에 의해</ref>
이는 [[두 점 사이의 거리|두 점 사이의 거리 공식]]을 이용하여 증명할 수 있다.
: 점 <math>P</math>와 준선 <math>l</math>의 거리: <math>y + a</math>
 
다음은 "초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선이 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> x^2 = 4ay</math>이다."라는 명제의 증명이다.
 
초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선이 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선 위의 점의 좌표를 <math> (x,y)</math>라고 하자.
 
그러면 [[두 점 사이의 거리|두 점 사이의 거리 공식]]에 의하여 점 <math> (x,y)</math>에서 점 <math> (a,0)</math>, 직선 <math> x=-a</math>에 이르는 거리가 각각 <math> \sqrt{ x^2 + ( y - a )^2 }</math>, <math>\left\vert y+p \right\vert</math>이므로
 
포물선의 정의에 의해의하여 <math> 거리가(x,y)</math>의 같으므로;자취의 방정식은 <math> \sqrt{x^2+(y-a)^2 }=|y+a| </math>인데
: <math> \sqrt{ x^2 + ( y - a )^2 } = y + a </math>
: <math> x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = y^2 + 2ay + a^2 </math>
: <math> x^2 = 4ay</math>
 
<math> \sqrt{x^2+(y-a)^2 }=|y+a| \Longleftrightarrow x^2+(y-a)^2=(y+a)^2 </math>, <math> x^2+(y-a)^2=(y+a)^2 \Longleftrightarrow x^2=4ay </math>이므로
따라서 준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점인 포물선은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
: <math> y = \frac{1}{4a}x^2 </math>
 
점 <math> (x,y)</math>의 자취의 방정식은 <math> x^2=4ay </math>이다. 따라서 초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선이 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> x^2=4ay </math>이다.
예를 들어 <math> y = x^2 </math>의 경우 초점은 <math>(0,\frac{1}{4})</math>, 준선은 <math> y = - \frac{1}{4}</math>이 된다. 한편, 준선이 y축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓이는 포물선은 <math>x=\frac{1}{4a}y^2</math>으로 나타낼 수 있다.<ref name="George21" />
 
"초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> y^2 = 4ax </math>이다."라는 명제도 위의 증명과 같은 방법으로 증명할 수 있다.
준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓이는 포물선의 경우, 준선과 y축의 교점이 음수이면 포물선은 그림과 같이 아래로 볼록하게 되고, 준선이 y축의 교점이 양수이면 포물선은 반대로 위로 볼록한 모양이 된다.<ref name="George21" />
 
[[이차 함수|이차함수]]의 그래프는 준선이 x축에 평행한 포물선을 그린다.
직교좌표계에서 일반적인 [[이차방정식]]을 관계식으로 갖는 [[함수]] <math>y = ax^2 + bx + c</math>의 [[그래프]]는 포물선을 그린다.<ref>Geoge F. Simmons, 고석구 외 역, 《미적분학과 해석기하》, 경문사, ISBN 89-7282-435-6, 24쪽</ref>
 
== 역사 ==
[[원뿔 곡선]]의 엄밀한 정의는 [[메나이크모스]]에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 [[정육면체]]의 [[부피]]를 두배로 늘리는 문제<ref group="주해">정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 [[미노스]]의 묘비에 얽힌 전설, [[아폴로]]의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 95-96쪽</ref>, 즉 <math>x^3 = 2</math>의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.<ref>토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, ISBN 978-89-9176-244-2, 366쪽</ref><ref group="주해">메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 [[오마르 하이얌]]이 포물선과 원을 이용하여 <math>x^3 + ax = b </math> 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, ISBN 978-89-6105-603-8, 88-89쪽</ref>
 
원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 [[페르게의 아폴로니오스]]로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.<ref name="EVE156">Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 156-157 쪽</ref>
 
[[아르키메데스]]는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러쌓인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 {{frac|4|3}}임을 증명하였다.<ref>{{서적 인용|성=Stein|이름=Sherman|번역자=이우영|제목=아르키메데스|출판사=경문사|연도=2006|isbn=89-7282-926-9|쪽=87}}</ref> 아르키메데스의 증명 과정을 간략히 소개하면,

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