2017년 12월 24일 (일) 18:58 판 편집 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 잔글편집 요약 없음 ← 이전 편집		2018년 2월 7일 (수) 15:57 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 분수 표현 관련 설명 제거 (과한 편폭; '정보'라는 부적절한 용어 사용; 문맥이 매끄럽지 않음); 번분수 관련 내용 삭제 (아무런 정보를 주지 않는 무의미한 내용); 다음 편집 →
1번째 줄: [[수학]]에서, '''유리수'''(有理數, {{llang\|en\|~~Rational~~rational number}})는 두 [[정수]]의 ~~분수 형태(단 분모는 반드시 0이 아니다)~~[[비율]]로 나타낼 수 있는 수이다. 단, [[실수분모]]를가 ~~말한다~~0이 아니어야 한다. 이에특히, 반해분모가 두1일 수 있으므로 ~~정수의~~모든 [[분수정수]]는 ~~(수학)\|분수~~유리수이다. 유리수체의 기호는 [[볼드체]] 꼴로<math>\mathbf ~~나타낼~~Q</math>나 수[[칠판 없는볼드체]] ~~실수를~~<math>\mathbb Q</math>이며, '[[~~무리수~~몫]]라'을 한다뜻하는 영어({{llang\|en\|quotient}})에서 따왔다. == 정의 == 모든 유리수의 [[집합]]은 <math>\mathbf{Q}</math> 또는 [[칠판 볼드체]]로 <math>\mathbb{Q}</math>라고 표시한다. 'Q'는 '몫'을 의미하는 'Quotient'에서 유래하였다. [[조건 제시법]]을 사용하여 <math>\mathbb{Q}</math>를 다음과 같이 나타낼 수 있다. : '''유리수체''' <math>\mathbb Q</math>는 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 [[분수체]]이다. 이는 다음과 같은 집합으로 생각할 수 있다. ~~:<math>\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}</math>~~ :<math>\mathbb Q=\left\{\frac mn\colon m,n\in\mathbb Z,\;n\ne0\right\}</math> === 산술추상적 정의 === 엄밀히 말해, 유리수체 <math>\mathbb Q</math>는 다음과 같은 공리를 만족시키는 ([[동형]] 아래 유일한) [[체 (수학)\|체]]이다. * <math>\mathbb Q</math>의 [[환의 표수\|표수]]는 0이다. * 만약 [[환 (수학)\|환]] <math>R</math>의 표수가 0이라면, 유일한 [[환 준동형]] <math>\mathbb Q\to R</math>이 존재한다. === 구체적 정의 === ~~같은 유리수: 두 유리수 <math>\frac{a}{b}</math>와 <math>\frac{c}{d}</math>가 <math>a \cdot d = b \cdot c</math>를 만족할 때, <math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math>이다.~~ 유리수체 <math>\mathbb Q</math>는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 집합 <math>\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\})</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]] <math>\sim</math>를 줄 수 있다. :<math>(m,n)\sim(m',n')\iff mn'=nm'\qquad(m,n,m',n'\in\mathbb Z,\;n,n'\ne0)</math> 유리수체 <math>\mathbb Q</math>는 집합으로서 [[몫집합]] <math>(\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\}))/{\sim}</math>이며, 그 위의 덧셈과 곱셈은 다음과 같다. :<math>[(m,n)]_\sim+[(m',n')]_\sim=[(mn'+nm',nn')]_\sim</math> :<math>[(m,n)]_\sim\cdot[(m',n')]_\sim=[(mm',nn')]_\sim</math> 체가 만족시켜야 하는 조건인 각종 연산 법칙과 덧셈 항등원 <math>[(0,1)]_\sim</math> 및 각 유리수 <math>[(m,n)]_\sim</math>의 덧셈 역원 <math>[(-m,n)]_\sim</math> 및 곱셈 항등원 <math>[(1,1)]_\sim</math> 및 0이 아닌 각 유리수 <math>[(m,n)]_\sim\ne[(0,0)]_\sim</math>의 곱셈 역원 <math>[(n,m)]_\sim</math>의 존재가 성립하므로, 이는 체를 이룬다. 정수환과 유리수체 사이의 표준적인 [[단사 함수\|단사]] [[환 준동형]]은 다음과 같다. :<math>\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q</math> :<math>n\mapsto[(n,1)]_\sim</math> 각 유리수 <math>[(m,n)]_\sim</math>를 분수 꼴 :<math>\frac mn</math> 로 나타내면, 유리수를 마치 두 정수의 비율인 것처럼 다룰 수 있다. == 표현 == ~~덧셈: 두 유리수 <math>\frac a b</math>와 <math>\frac c d</math>의 덧셈은 다음과 같이 정의한다.~~ === 분수 표현 === ~~:<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}</math>~~ 유리수는 두 정수의 비율이므로, [[나눗셈]] 기호와 의미가 같은 [[분수 (수학)\|분수]] 기호를 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1과 3의 비를 분수로 나타내면 {{sfrac\|3}}이다. 분자와 분모를 동시에 그 [[공약수]]로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 [[약분]]이라고 한다. 분자와 분모가 [[서로소 정수\|서로소]]이어서 더 이상 약분할 수 없는 분수를 [[기약 분수]]라고 한다. 예를 들어, {{sfrac\|12\|18}}을 최대 공약수 6으로 나눠 약분하면 기약 분수 {{sfrac\|2\|3}}을 얻는다. 분자가 분모보다 작은 분수를 [[진분수]], 작지 않은 분수를 [[가분수]]라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 [[대분수]]라고 한다. 예를 들어, {{sfrac\|11\|9}}의 대분수 표현은 1{{sfrac\|2\|9}}이다. [[무리수]]는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없으므로 분수 표현이 불가능하다. ~~곱셈: 두 유리수 <math>\frac a b</math>와 <math>\frac c d</math>의 곱셈은 다음과 같이 정의한다.~~ ~~:<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math>~~ === 십진법 표현 === ~~덧셈에 대한 역원: 유리수 <math>\frac a b</math>의 덧셈에 대한 역원은 다음과 같이 정의한다. 이를 이용하여 두 유리수의 뺄셈을 할 수 있다.~~ 유리수의 진법 전개는 [[유한 소수]]이거나 [[순환 소수]]이다. 십진법 전개가 가장 흔하며, 그 예는 다음과 같다. ~~:<math>-\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{-a}{b}</math>~~ :<math>\frac75=1.4</math> ~~:<math>\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \left(- \frac{c}{d}\right) = \frac{a}{b} + \frac{-c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}</math>~~ :<math>\frac13=0.\dot3=0.333\cdots</math> :<math>\frac16=0.1\dot6=0.1666\cdots</math> :<math>\frac17=0.\dot1\dot4\dot2\dot8\dot5\dot7=0.142857142857\cdots</math> :<math>\frac19=0.\dot1=0.111\cdots</math> :<math>\frac1{11}=0.\dot0\dot9=0.090909\cdots</math> 분수를 소수로 전환하려면 [[나머지 있는 나눗셈]]을 통해 순환 마디를 구하면 된다. 유한 소수나 순환 소수를 분수로 전환하려면 {{sfrac\|10}} = 0.1, {{sfrac\|100}} = 0.01, {{sfrac\|1000}} = 0.001 및 {{sfrac\|9}} = 0.111..., {{sfrac\|99}} = 0.010101..., {{sfrac\|999}} = 0.001001001... 따위를 이용하면 된다. 반면 무리수의 진법 전개는 [[비순환 소수]]이다. ~~곱셈에 대한 역원: 0이 아닌 유리수 <math>\frac a b</math>의 곱셈에 대한 역원은 다음과 같이 정의한다. 이를 이용하여 두 유리수의 나눗셈을 할 수 있다.~~ ~~:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}</math>~~ ~~:<math>\frac{a}{b} \Big/ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^{-1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}</math>~~ === ~~형식적~~연분수 구성표현 === 유리수는 유한 [[연분수]] 표현이 가능하다. 예를 들어, 다음과 같다. :<math>\frac{11}9=[1;4,2]=1+\frac1{4+\dfrac12}</math> :<math>\frac{15}{11}=[1;2,1,3]=1+\frac1{2+\dfrac1{1+\dfrac13}}</math> :<math>\frac{734}{367}=[2;5,3,7,3]=2+\frac1{5+\dfrac1{3+\dfrac1{7+\dfrac13}}}</math> 분수를 연분수로 나타내려면, 분자와 분모에 [[유클리드 호제법]]을 응용하면 된다. 무리수의 경우, 연분수 표현은 항상 무한 연분수이다. 정수의 순서쌍에 대한 동치류로서 유리수를 정의할 수 있다. 두 정수 <math>a</math>와 <math>b(\ne0)</math>에 대하여, 순서쌍 <math>(a,b)</math>를 하나의 유리수로 생각하고, 다음과 같은 동치관계를 정의한다. 여기서 왼쪽은 유리수 사이의 같음을 나타내고 오른쪽은 정수 사이의 같음을 나타낸다. == 연산 == ~~:<math>(a,\,b) = (c,\,d) \Leftrightarrow ad = bc</math>~~ === 등식과 부등식 === 두 유리수가 같을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다. :<math>\frac ab=\frac cd\iff ad=bc\qquad(a,b,c,d\in\mathbb Z,\;b,d\ne0)</math> 어떤 유리수가 다른 어떤 유리수보다 작을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다. :<math>\frac ab<\frac cd\iff ad<bc\qquad(a,b,c,d\in\mathbb Z,\;b,d>0)</math> === 덧셈과 뺄셈 === ~~덧셈과 곱셈, 덧셈과 곱셈에 대한 항등원은 유리수에서 정의되는 규칙을 옮겨 쓴다.~~ 두 유리수의 덧셈에는 [[통분]] 기법이 쓰이며, 이는 다음과 같다. :<math>\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}</math> 유리수의 [[반수 (수학)\|반수]]를 구하는 공식은 다음과 같다. :<math>-\frac ab=\frac{-a}b</math> 두 유리수의 뺄셈은 반수를 더하는 것과 같다. :<math>\frac ab-\frac cd=\frac ab+\left(-\frac cd\right)=\frac{ad-bc}{bd}</math> 분모의 [[최소 공배수]]를 공분모로 취하여 통분하면 더 간단히 구할 수 있다. === 곱셈과 나눗셈 === ~~:<math>(a,\,b) + (c,\,d) = (ad+bc,\,bd)</math>~~ 두 유리수의 곱셈은 다음과 같다. ~~:<math>(a,\,b) \cdot (c,\,d) = (ac,\,bd)</math>~~ :<math>~~-(a,~~\~~,b)~~frac =ab\cdot\frac ~~(-a,~~cd=\~~,-b)~~frac{ac}{bd}</math> 0이 아닌 유리수의 [[역수]]는 다음과 같다. ~~:<math>(a,\,b)^{-1} = (b,\,a),\ b \ne 0</math>~~ :<math>\left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba</math> 두 유리수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같다. ~~이러한 형식적 구성은 일반적인 [[정역]]으로부터 [[분수체]]를 만드는 체계적인 방법을 제공한다.~~ :<math>\frac ab\div\frac cd=\frac ab\cdot\left(\frac cd\right)^{-1}=\frac{ad}{bc}</math> == 성질 == 집합 <math>\mathbb Q</math>는 정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>으로 만든 [[분수체]]이며, 따라서 <math>\mathbb Q</math>는 사칙연산이 자유로운 [[체 (수학)\|체]]이다. 집합 <math>\mathbb{ Q}</math>는 ~~정수의~~[[환의 집합표수\|표수]]가 ~~<math>\mathbb{Z}</math>으로~~0인 만든가장 작은 [[~~분수체~~체 (수학)\|체]]이며이다. 즉, ~~따라서~~[[환의 표수\|표수]]가 0인 체는 <math>\mathbb{ Q}</math>~~는 사칙연산이 자유로운~~와 [[~~체 (수학)\|체~~동형]]이다인 체를 반드시 포함한다. 서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 <math>\mathbb{Q}</math>는 [[조밀 집합]]이다. 그러나 <math>\mathbb{Q}</math>와 <math>\mathbb{Z}</math> 사이에는 [[일대일 대응]]이 가능하므로, <math>\mathbb{Q}</math>는 [[가산 집합]]이다. 집합 <math>\mathbb{Q}</math>는 [[환의 표수\|표수]]가 0인 가장 작은 [[체 (수학)\|체]]이다. 즉, [[환의 표수\|표수]]가 0인 체는 <math>\mathbb{Q}</math>와 [[동형]]인 체를 반드시 포함한다. ~~:<math>{2 \over 3} = {{1+ 1} \over 3}= {{1} \over 3}+ {{1} \over 3} </math>~~ ~~:<math>{3 \over 4} = {{1+ 1+1} \over 4}= {{1} \over 4}+ {{1} \over 4}+ {{1} \over 4} </math>~~ ~~:<math>= {{1+ 1+1} \over 4}= {{1+1} \over 4}+ {{1} \over 4}= {{2} \over 4}+ {{1} \over 4}={3 \over 4} </math>~~ ~~이처럼 분수는 <math> {{a} \over {b}}</math>와 같이 분자<math> {a}</math> 와 분모<math> {b}</math>로 표현된다.~~ ~~이것은 <math> {a} \div {b}</math>를 의미하는 표현이다.~~ ~~따라서, <math> {a}</math>가 <math> {b}</math>로 나누어진다면,~~ ~~이것은 <math> \left({{\text{자 기 자 신 의 정 보 }} \over {\text{전 체 의 정 보 }}} \right)</math> 를 의미하는 표현이다.~~ ~~즉, 자기 자신의 정보가 전체의 정보로 나누어짐을 의미하는 표현이고,~~ ~~바꾸어 말하면, 자기 자신의 정보를 전체의 정보로 나눔을 의미하는 것이다.~~ ~~따라서, 자기 자신의 정보가 전체 정보에서 얼마만큼을 차지하는지를 보여주게 된다.~~ 서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 <math>\mathbb Q</math>는 [[조밀 집합]]이다. 그러나 <math>\mathbb Q</math>와 <math>\mathbb Z</math> 사이에는 [[일대일 대응]]이 가능하므로, <math>\mathbb Q</math>는 [[가산 무한 집합]]이다. ~~또한 분수는 [[번분수]]의 성질이 있다.~~ 유리수체에는 표준적인 [[절댓값]]과 [[p진 절댓값]]을 줄 수 있으며, 이들에 의한 [[완비화]]는 각각 [[실수체]]와 [[p진수체]]이다. ~~:<math>2= {2 \over 1} = {{ 2 \over 1} \over {1 \over 1}}= {{2} \over 1}= {2} </math>~~ ~~:<math>1= {1 \over 1} = {{ 1 \over 1} \over {1 \over 1}}= {{ {1\over 1} \over {1\over 1}} \over {{1\over 1} \over{1\over 1}}}= {{ 1 \over 1} \over {1 \over 1}}= {{1} \over 1}= {1} </math>~~ == 외부 링크 == * ~~[http://navercast.naver.com/science/math/~~{{네이버캐스트\|id=1956 ~~네이버 캐스트 -~~ \|제목=자연수 vs. 유리수]\|저자=정경훈\|날짜=2010-10-2}} * {{eom\|title=Rational number}} * {{매스월드\|id=RationalNumber\|title=Rational number}} * {{nlab\|id=rational number\|title=Rational number}} * {{플래닛매스\|urlname=RationalNumber\|title=Rational number}} {{수 체계}}

유리수: 두 판 사이의 차이