"순환군"의 두 판 사이의 차이

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[[군론]]에서, '''순환군'''(循環群, {{llang|en|cyclic group}})은 하나의 원소에 의하여 생성되는 [[군 (수학)|군]]이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정 원소의 거듭제곱이다. (가법군의 경우, 모든 원소는 어떤 고정 원소의 정수배이다.)
 
== 정의 ==
[[군 (수학)|군]]의 원소 <math>g\in G</math>가 생성하는 '''순환군''' <math>\langle g\rangle</math>은 다음과 같다.
:<math>\langle g\rangle=\{g^n\colon n\in\mathbb Z\}=\{\dots,g^{-2},g^{-1},1,g,g^2,\dots\}\le G</math>
 
=== 위수차수 ===
군 <math>G</math>의 '''위수차수'''(數, {{llang|en|order}}) 또는 '''위수'''(位數) <math>|G|</math>는 [[집합의 크기]]이다를 뜻한다.
 
군의 원소 <math>g\in G</math>의 '''위수차수''' <math>\operatorname{ord}g</math>는 그 원소가 생성하는 순환군의 위수이다차수이다. 즉, 거듭제곱하여 [[항등원]]이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
:<math>\operatorname{ord}g=|\langle g\rangle|=
\begin{cases}
 
== 분류 ==
순환군은 [[정수군]] 또는 그 [[몫군]]과 [[동형]]이다. [[무한 집합|무한]] 순환군은 정수군, [[유한 집합|유한]] 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.
:<math>\langle g\rangle\cong
\begin{cases}
 
== 성질 ==
=== 위수와약수 지수관계 ===
군의 유한 위수차수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
==== 약수 관계 ====
군의 유한 위수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>g^n=1</math>
* <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>
{{증명 시작}}
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이라면, <math>n=n'\operatorname{ord}g</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, <math>g^n=(g^{\operatorname{ord}g})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다.
* '''(⇒)''' <math>g^n=1</math>이라면, <math>n</math>과 <math>\operatorname{ord}g</math>의 나머지 있는 나눗셈을 <math>n=q\operatorname{ord}g+r</math>라고 하면, <math>g^r=g^ng^{-\operatorname{ord}g}=1</math>이므로, 위수의차수의 정의에 따라 <math>r=0</math>이다. 즉, <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이다.
{{증명 끝}}
지수가 유한한 군 <math>G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
[[유한군]] <math>G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}g\mid\exp G\mid|G|</math>
군의 유한 위수차수 원소 <math>g\in G</math> 및 [[정규 부분군]] <math>N\triangleleft G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}(gN)\mid\operatorname{ord}g</math>
{{증명 시작}}
{{증명 끝}}
 
==== 항등식 ====
군의 유한 위수차수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}g^n=\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math>
{{증명 시작}}
** 증명: <math>1=(gh)^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}=h^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 비슷하게, <math>\operatorname{ord}g\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 따라서, <math>\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)</math>이다.
{{증명 끝}}
반대로, 군의 원소 <math>x\in G</math>의 위수를차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
:<math>\operatorname{ord}x=mn\qquad(\gcd\{m,n\}=1)</math>
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 <math>g,h\in G</math>가 존재한다.
[[유한군|유한]] [[아벨 군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>g\in G</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g</math>
, <math>G</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\max_{g\in G}\operatorname{ord}g=\exp G</math>
{{증명 시작}}
최대 위수차수 원소 <math>g\in G</math>를 취하자. 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{ord}h\nmid\operatorname{ord}g</math>
라고 가정하자. 그렇다면,
[[유한군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 순환군이다.
* 임의의, <math>|G|</math>의 양의 약수 <math>d</math>에 대하여, <math>\{H\le G\colon|H|=d\}\le1</math>이다.
* 임의의 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>|\{x\in G\colon x^m=1\}|\le m</math>이다.
{{증명 시작}}
* '''(1) ⇒ (2):''' 순환군 <math>\langle g\rangle</math>의, 크기 <math>d</math>의 부분군은 <math>\langle g^\frac{\operatorname{ord}g}d\rangle</math>가 유일하다.
[[실로우 정리]]를 사용하여 증명할 수 있다.
* '''(1) ⇐ (2):''' 임의의 <math>0<d\mid|G|</math>에 대하여, <math>|\{g\in G\colon\operatorname{ord}g=d\}|=\phi(d)>0</math>임을 증명하자. (여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다.) 그렇다면, 특히 <math>\operatorname{ord}g=|G|</math>인 <math>g\in G</math>가 존재하므로, <math>G</math>는 순환군이다.
** 증명: <math>\operatorname{ord}g=\operatorname{ord}h=d</math>인 <math>g,h\in G</math>를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 <math>\langle g\rangle=\langle h\rangle</math>이므로, <math>h=g^n</math>인 <math>n\in\mathbb Z</math>가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 <math>\gcd\{n,d\}=1</math>를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나 <math>\phi(d)</math>이다. 또한, <math>n=\sum_{d\mid|G|}\phi(d)</math>이므로, 구하려는 수는 <math>\phi(d)</math>이다.
* '''(1) ⇔ (3):''': [[실로우쉴로브 정리]]를 사용하여 증명할 수 있다.
{{증명 끝}}
순환군 <math>Z_m,Z_n</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
=== 유한 아벨 군의 분해 ===
{{본문|아벨 군}}
유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. <math>G</math>가 아벨 유한 [[p-군]], <math>a\in G</math>가 그 최대 위수차수 원소라고 하자. 그렇다면, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>인 <math>B\le G</math>가 존재한다.
{{증명 시작}}
이제[[귀류법]]을 사용하여, <math>G</math>가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, <math>|G|\ge2</math>이며, <math>G\ne\langle a\rangle</math>이므로, 최소 위수차수 원소 <math>b\in G\setminus\langle a\rangle</math>를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
* <math>\operatorname{ord}b=p</math>
** 증명: 그렇지 않다면, <math>\operatorname{ord}b=p^e</math> (<math>e\ge2</math>)이며, <math>\operatorname{ord}b^p=p^{e-1}</math>이므로, <math>b^p\in\langle a\rangle</math>이다. <math>b^p=a^n</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>)이라고 하자. 그렇다면, <math>\frac{\operatorname{ord}a}{\gcd\{\operatorname{ord}a,n\}}=\operatorname{ord}b^p<\operatorname{ord}b\le\operatorname{ord}a</math>이므로, <math>p\mid n</math>이다. 따라서, <math>(ba^{-\frac np})^p=1_G</math>이며, <math>ba^{-\frac np}\in G\setminus\langle a\rangle</math>인데, 이는 <math>b</math>의 선택과 모순이다.
* <math>\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>
** 증명: <math>1_G\ne a^m=b^n\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle</math> (<math>0\le n<p</math>)라고 하자. 그렇다면, <math>1=nu+pv</math>인 <math>u,v\in\mathbb Z</math>가 존재하며, <math>b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in\langle a\rangle</math>이다. 이는 모순이다.
* <math>a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle</math>은 최대 위수차수 원소이다.
** 증명: 우선 <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)\mid\operatorname{ord}a</math>이다. <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)<\operatorname{ord}a</math>라고 가정하면, <math>(a\langle b\rangle)^\frac{\operatorname{ord}a}p=1</math>이므로, <math>a^\frac{\operatorname{ord}a}p\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>이다. 이는 모순이다. 따라서 <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)=\operatorname{ord}a</math>이며, <math>a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle</math>은 최대 위수차수 원소이다.
* <math>G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)</math>인 <math>\langle b\rangle\subseteq B\le G/\langle b\rangle</math>가 존재한다.
** 증명: <math>|G/\langle b\rangle|=|G|/p<|G|</math>