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대칭행렬: 두 판 사이의 차이

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[[선형대수학]]에서, '''대칭 행렬'''(對稱行列, {{llang|en|symmetric matrix}})은 [[전치행렬전치 행렬]]이 스스로와 같은 [[행렬]]이다.
 
== 정의 ==
행렬 <math>A</math>가 있을다음 때조건을 만족시키면, '''대칭 행렬'''이라고 한다.
:<math>A = A^{\top}operatorname T</math>
즉,
이라면, <math>A</math>를 '''대칭 행렬'''이라고 한다.
:<math> A A_{ij}= A^A_{Tji} </math>▼
 
만약
:<math>A = -A^{\top}</math>
이라면, <math>A</math>를 [[반대칭행렬]](反對稱行列)이라 부른다.
 
== 성질 ==
[[유한 차원]] [[벡터 공간]]의 [[대칭 쌍선형 형식]]은 대칭 행렬의 개념과 일치한다.
[[실수]] 성분 대칭 행렬의 대표적인 특성들은 다음과 같다.<ref>Howard Anton, 이장우 역, 《알기쉬운 선형대수》{{rp|452–453}}, 범한서적, 2006</ref>
# 실수 [[정사각행렬]]이 [[직교 행렬|직교]] [[대각행렬|대각]]화 가능일 [[필요충분조건]]은 이 행렬이 대칭행렬일 것이다.
# 실수 대칭 행렬은 [[에르미트 행렬]]이므로, [[고윳값]]은 모두 실수이다.
# 실수 대칭 행렬의 서로 다른 [[고윳값]]에 대응하는 [[고유벡터]]들은 서로 직교한다.
 
=== 연산에 대한 닫힘 ===
==표현==
대칭 행렬은 덧셈과 스칼라 곱셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다.
대칭행렬 A 와 A 의 [[전치행렬]] A<sup>T</sup>
 
=== 실수 대칭 행렬 ===
:<math>
[[스펙트럼 정리]]에 따르면, 실수 대칭 행렬은 [[직교 대각화 가능 행렬]]이며, 반대로 모든 실수 직교 대각화 가능 행렬은 대칭 행렬이다.
A = \begin{pmatrix}▼
\color{red}{a} & b & c\\
b & \color{red}{e} & f\\
c & f & \color{red}{i}
\end{pmatrix} ▼
</math>
 
실수 대칭 행렬은 [[에르미트 행렬]]이므로, [[고윳값]]은 모두 실수이며, 서로 다른 [[고윳값]]에 대응하는 [[고유 벡터]]들은 서로 직교한다.<ref>Howard Anton, 이장우 역, 《알기쉬운 선형대수》, 범한서적, 2006</ref>{{rp|452–453}}
 
=== 반대칭 행렬과의 관계 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 대칭 행렬의 집합은, 전체 행렬 [[대수 (환론)|대수]]의 <math>n(n+1)/2</math>차원 [[부분 대수]]를 이룬다. 또한, 만약 <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 2가 아닐 경우, 전체 행렬 대수는 대칭 행렬과 [[반대칭 행렬]]의 [[벡터 공간]]의 [[직합]]이다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Mat}(n;K)=\{A\in\operatorname{Mat}(n;K)\colon A=A^\operatorname T\}\oplus\{A\in\operatorname{Mat}(n;K)\colon A=-A^\operatorname T\}\qquad(\operatorname{char}F\ne2)</math>
구체적으로, 임의의 행렬 <math>A</math>는 다음과 같은 대칭 행렬과 반대칭 행렬의 합으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현 방법은 유일하다.
:<math>A=\frac12(A+A^\operatorname T)+\frac12(A-A^\operatorname T)</math>
 
== 예 ==
예를 들어, 행렬
:<math>
▲A = \begin{pmatrix}
A^{T}
1&2&4\\
= \begin{pmatrix}
2&3&5\\
\color{red}{a} & b & c\\
4&5&6
b & \color{red}{e} & f\\
▲\end{pmatrix}
c & f & \color{red}{i}
\end{pmatrix}
</math>
은 대칭 행렬이다.
 
== 각주 ==
▲:<math> A = A^{T} </math>
 
==관련 행렬==
* [[반대칭행렬]](Skew-symmetric matrix)
* [[중심대칭행렬]](Centro-symmetric matrix)
* [[순환 행렬]]
* [[공변량 행렬]](Covariance matrix)
* [[콕서터 군]](Coxeter matrix)
* [[한켈 행렬]](Hankel matrix)
* [[힐베르트 행렬]]
* [[반대칭행렬]]
* [[실베스터 관성법칙]]
* [[퇴플리츠 행렬]]
*[[교환 행렬]](Exchange matrix)
*[[이중 대칭행렬]](Bi-symmetric matrix)
*[[반대각 대칭행렬]](Per-symmetric matrix)
 
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
*(매스월드)http://mathworld.wolfram.com/SymmetricMatrix.html , http://mathworld.wolfram.com/Symmetric.html , http://mathworld.wolfram.com/SymmetricPart.html , http://mathworld.wolfram.com/SymmetricBilinearForm.html , http://mathworld.wolfram.com/SymmetricLQMethod.html , http://mathworld.wolfram.com/BisymmetricMatrix.html
 
== 같이 보기 ==
* [[에르미트 행렬]]
*[[일차변환]]
*[[변환행렬]]
*[[밴드 행렬]]
 
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Symmetric matrix}}
* {{매스월드|id=SymmetricMatrix|title=Symmetric matrix}}
 
[[분류:행렬]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/대칭행렬"