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1번째 줄: [[선형대수학]]에서, '''직교 행렬'''(直交行列, orthogonal matrix)은 행벡터와 열벡터가 [[유클리드 공간]]의 [[정규 직교 기저]]를 이루는 [[실수]] [[행렬]]이다. '''직교행렬'''(直交行列, orthogonal matrix)은 어떤[[행렬]]이 그 행렬의 전치행렬과 그 행렬의 역행렬이 서로 같을때, 그 어떤행렬을 가리켜 직교행렬이라고 부른다. == 각주정의 ==▼ ~~행렬 <math>Q</math>에서,~~ [[실수]] <math>n\times n</math> [[행렬]] <math>Q</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>Q</math>를 '''직교 행렬'''이라고 한다. ~~:<math>Q^T = Q^{-1}</math> 이라면,~~ * <math>QQ^\operatorname T=Q^\operatorname TQ=1_{n\times n}</math>. 즉, <math>Q</math>의 [[전치 행렬]]은 <math>Q</math>의 [[역행렬]]이다. ~~행렬 <math>Q</math>는 직교행렬이다.~~ * <math>Q</math>의 열벡터들은 <math>\mathbb R^n</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다. * <math>Q</math>의 행벡터들은 <math>\mathbb R^n</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다. * <math>\mathbb R^n</math>의 모든 정규 직교 기저 <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math>에 대하여, <math>\{Q\mathbf e_1,\dots,Q\mathbf e_n\}</math>은 <math>\mathbb R^n</math>의 정규 직교 기저이다. * <math>\mathbb R^n</math>의 어떤 정규 직교 기저 <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math>에 대하여, <math>\{Q\mathbf e_1,\dots,Q\mathbf e_n\}</math>은 <math>\mathbb R^n</math>의 정규 직교 기저이다. * 임의의 벡터 <math>\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>(Q\mathbf x)\cdot(Q\mathbf y)=\mathbf x\cdot\mathbf y</math> * 임의의 벡터 <math>\mathbf x\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>\textstyle\sqrt{(Q\mathbf x)\cdot(Q\mathbf x)}=\sqrt{\mathbf x\cdot\mathbf x}</math> ==정의 예 == 실수 <math>1\times1</math> 직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다. ~~직교행렬은 다음 2가지 방법 중 하나로 정의한다.~~ :<math>\begin{pmatrix}\pm1\end{pmatrix}</math> ~~:임의의 행렬 <math>Q</math>에 대해서,<math>Q^T</math>은 [[전치행렬]],<math>Q^{-1}</math>[[역행렬]],<math>I</math>[[단위행렬]]일때,~~ 실수 <math>2\times2</math> 직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다. ~~# <math>Q Q^T = Q^T Q = I</math> 인 행렬 <math>Q</math>~~ :<math>\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\epsilon\sin\theta&\epsilon\cos\theta\end{pmatrix}\qquad\theta\in\mathbb R,\;\epsilon=\pm1</math> ~~# 크기가 1이고 직교하는 벡터 로 구성된 정사각행렬 <math>Q</math>~~ <math>Q Q^T = Q^T Q = I \Longleftrightarrow</math>크기가 1이고 직교하는 벡터 로 구성된 정사각행렬 <math>Q</math> ~~따라서, 직교행렬의 [[전치행렬]]은 원래 행렬의 [[역행렬]]과 같다. 즉, 임의의 직교행렬 <math>Q</math>에 대해서~~ ~~:<math>Q^T = Q^{-1}, Q Q^T = Q^T Q = I</math>~~ ~~가 성립한다. 역으로 전치행렬과 역행렬이 같은 정사각행렬은 직교행렬이 된다.~~ ~~==직교행렬의 변환==~~ ~~직교행렬을 [[선형 변환]]으로 대응하면,~~ ~~:<math>T(\bold v) = Q \bold v</math>~~ ~~이 변환은 벡터의 [[스칼라곱]]을 보존하는 변환이 된다. 이러한 변환을 [[직교변환]]이라고 한다.~~ 보편적으로 전치행렬은 역행렬보다 [[계산 복잡도 이론\|계산복잡도]]가 낮아 유용하기에 행렬간 변환에서 고려하는것은 전치행렬과 역행렬이 임의의 직교행렬과의 연결관계에서 의미를 갖는다. <ref>http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=1065</ref> == 같이 보기 == * [[~~사다리꼴행렬\|사다리꼴~~유니터리 행렬]] * [[~~특이값~~특잇값 분해]] * [[QR 분해]] ▲== 각주 == ~~{{각주}}~~ [[분류:행렬]]

직교행렬: 두 판 사이의 차이