"기약 다항식"의 두 판 사이의 차이

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[[다항식]] <math>0\ne p(x)\in R[x]</math>의 '''내용'''(內容, {{llang|en|content}}) <math>\operatorname c_R(p(x))</math>은 계수의 [[최대 공약수]]이다.
:<math>\operatorname c(p(x))=\gcd\{p_0,\dots,p_{\deg p}\}</math>
내용이 [[가역원]]인 다항식(즉, 계수가 [[서로소 정수|서로소]]인 다항식)을 '''원시 다항식'''(原始多項式, {{llang|en|primitive polynomial}})이라고 한다.
 
== 분류 ==
=== 복소수체 위의 기약 다항식 ===
[[복소수체]]는 [[대수적으로 닫힌 체]]이므로, 기약 다항식은 1차 다항식뿐이다.
 
=== 실수체 위의 기약 다항식 ===
[[실수체]] 위의 모든 기약 다항식은 1차 다항식과 [[판별식]]이 0보다 작은 2차 다항식뿐이다.
{{proof}}
;1차 다항식의 기약성: 어떤 실수 계수 1차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면 이 다항식은 두 1차 이상의 다항식의 곱으로 분해되므로, 2차 이상이게 되며, 이는 모순이다.
;판별식이 0보다 작은 2차 다항식의 기약성: 어떤 판별식이 0보다 작은 2차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 하자. 그렇다면 이 다항식은 두 실수 계수 1차 다항식으로 분해되므로, 실수 영점을 가지며, 판별식은 0보다 작지 않게 되며, 이는 모순이다.
;판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식의 비기약성: 판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식은 실수 영점을 가지며, 두 1차 다항식의 곱으로 분해되므로, 기약 다항식이 아니다.
;3차 이상의 다항식의 비기약성: <math>p(x)\in\mathbb R[x]</math>가 3차 이상의 다항식이라고 하자. 그렇다면, [[대수학의 기본 정리]]에 따라 복소수 영점 <math>z\in\mathbb C</math>가 존재한다. 만약 <math>z\in\mathbb R</math>라면, <math>\mathbb R[x]\ni x-z\mid p(x)</math>이므로 <math>p(x)</math>는 기약 다항식이 아니다. 만약 <math>z\not\in\mathbb R</math>이라면, 그 [[켤레 복소수]] <math>\bar z</math> 역시 영점인데, 이는 <math>p(\bar z)=\bar p(\bar z)=\overline{p(z)}=\bar 0=0</math>이기 때문이다. 따라서, <math>\mathbb R[x]\ni(x-z)(x-\bar z)\mid p(x)</math>이므로, <math>p(x)</math>는 기약 다항식이 아니다.
{{end proof}}
 
== 성질 ==
라고 하면, <math>p \nmid a_s,</math> <math>p \nmid b_t</math>이고, 임의의 <math>i < s,</math> <math>j < t</math>에 대해 각각 <math>p \mid a_i,</math> <math>p \mid b_j</math>이다. <math>c_{s+t}</math>의 전개에서, <math>a_sb_t</math> 외의 남은 항 <math>a_ib_j</math>는 <math>i < s</math> 또는 <math>j < t</math>를 만족하므로(그렇지 않으면 <math>i + j > s + t</math>이어서 모순이다), 모두 <math>p \mid a_ib_j</math>이다. <math>p \mid c_{s+t}</math>도 성립함에 따라 <math>p \mid a_sb_t</math>이다. 따라서 <math>p \mid a_s</math> 또는 <math>p \mid b_t</math>이며, 이는 모순이다. 그러므로 가정은 참이 아니며, <math>f(x)g(x)</math>는 원시다항식이다.
{{증명 끝}}
<math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라고 하자.또한, 다항식 <math>p(x)\in R[x]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. 이 역시 가우스 보조정리라고 한다.
 
=== 환론적 성질 ===
<math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라고 하자. 다항식 <math>p(x)\in R[x]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p(x)</math>는 <math>R[x]</math>에서 기약 다항식이다.
* <math>p(x)</math>는 <math>(\operatorname{Frac}R)[x]</math>에서 기약 다항식이다.
 
=== 기약성 판정법 ===
다항식의 기약성의 판정법에는 [[유리근 정리]]와 [[아이젠슈타인 판정법]]이 있다.
 
== 예 ==
모든 1차 다항식은 기약 다항식이다.
 
== 외부 링크 ==