기하적 대수학: 두 판 사이의 차이
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가 된다.
== 양자역학에서의 응용 ==
[[파울리 행렬]]은 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 표준기저 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 3차원공간의 표준기저 <math>e_1, e_2, e_3</math>는 다음과 같은 기하적 대수 구조를 가진다면,
:<math>\mathbf{e}_i \mathbf{e}_j = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j + \mathbf{e}_i \wedge \mathbf{e}_j = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j + i \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_j = \delta_{ij} + i \sum_k \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_k</math>
그리고 파울리 행렬 <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>이 이러한 표준기저 벡터들의 행렬 표현으로 간주 된다면, 파울리 행렬은 자연스럽게 다음과 같은 성질들을 만족한다.
:<math>\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \sum_k \epsilon_{ijk} \sigma_k</math>
:<math>[\sigma_i, \sigma_j] = 2 \sigma_i \wedge \sigma_j = 2 i \sum_k \epsilon_{ijk} \sigma_k</math>
:<math>\lbrace\sigma_i, \sigma_j\rbrace = 2 \sigma_i \cdot \sigma_j = 2 \delta_{ij} \cdot I</math>
그렇다면 일반적으로 양자역학에서 다루는, 파울리 벡터(<math>\bold{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z}</math>)와 보통 벡터(<math>\bold{v} = v_1 \hat{x} + v_2 \hat{y} + v_3 \hat{z}</math>) 간의 내적인 <math>\bold{\sigma}\cdot \bold{v} = v_1 \sigma_1 + v_2 \sigma_2 + v_3 \sigma_3</math>은 기하적 대수를 만족하는 3차원 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 기하적 대수구조를 가지는 공간의 두 벡터 <math>\mathbf{v}, \mathbf{w}</math>는 다음과 같은 식을 만족한다.
:<math>\mathbf{v}\mathbf{w} =\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} + i \mathbf{v}\times\mathbf{w}</math>
위 식을 표준기저를 사용해서 표현하면 다음과 같다.
:<math>(v_1 \hat{x} + v_2 \hat{y} + v_3 \hat{z})(w_1 \hat{x} + w_2 \hat{y} + w_3 \hat{z}) = (v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3) + i((v_2 w_3 - v_3 w_2)\hat{x}+(v_3 w_1 - v_1 w_3)\hat{y}+(v_1 w_2 - v_2 w_1)\hat{z})</math>
그러면 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 두 벡터 <math>\mathbf{v}, \mathbf{w}</math>의 행렬 표현도 자연스럽게 다음의 성질을 만족한다.
:<math>(v_1 \sigma_1 + v_2 \sigma_2 + v_3 \sigma_3)(w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 + w_3 \sigma_3) = (v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3) + i((v_2 w_3 - v_3 w_2)\sigma_1+(v_3 w_1 - v_1 w_3)\sigma_2+(v_1 w_2 - v_2 w_1)\sigma_3)</math>
일반적으로 양자역학에서 다루는, <math>\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}</math>표현으로 위의 식을 바꿔주면,
:<math>(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{w} \cdot \mathbf{\sigma}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + i \mathbf{\sigma} \cdot ( \mathbf{v} \times \mathbf{w} )</math>
가 된다.
== 참고 문헌 ==
* {{citation |year=2003 |last1=Hestenes |first1=David|title=Reforming the Mathematical Language of Physics}}
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