기하적 대수학: 두 판 사이의 차이

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:<math>\lbrace\sigma_i, \sigma_j\rbrace = 2 \sigma_i \cdot \sigma_j = 2 \delta_{ij} \cdot I</math>
 
그렇다면 일반적으로 양자역학에서 다루는, 파울리 벡터(<math>\bold{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z}</math>)와 보통 벡터(<math>\bold{v} = v_1 \hat{x} + v_2 \hat{y} + v_3 \hat{z}</math>) 간의 내적인 <math>\bold{\sigma}\cdot \bold{v} = v_1 \sigma_1 + v_2 \sigma_2 + v_3 \sigma_3</math>은 기하적 대수를 만족하는 3차원 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 즉, 벡터 <math>\bold{v} = [v_1, v_2, v_3]</math>가 기하적 대수 구조를 갖는 벡터공간의 벡터라면 행렬 <math>\begin{pmatrix}v_3&v_1-i v_2\\v_1+i v_2&-v_3\end{pmatrix}</math>라고 표현될 수 있으며, 행렬 <math>\begin{pmatrix}v_3&v_1-i v_2\\v_1+i v_2&-v_3\end{pmatrix}</math>는 기하적 대수 구조를 갖는 벡터공간의 벡터 <math>\bold{v} = [v_1, v_2, v_3]</math>로 생각될 수 있는 것이다. 기하적 대수구조를 가지는 공간의 두 벡터 <math>\mathbf{v}, \mathbf{w}</math>는 다음과 같은 식을 만족한다.
:<math>\mathbf{v}\mathbf{w} =\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} + i \mathbf{v}\times\mathbf{w}</math>
위 식을 표준기저를 사용해서 표현하면 다음과 같다.