기하적 대수학: 두 판 사이의 차이
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기하적 대수학에서 멕스웰 방정식에 해당하는 표현은 <math>\Box \mathit{F} = c\mu_0 J</math>인데, 4차원 미분형식(differential form)의 형식을 따르는 미분연산자 <math>\Box</math>와 앞서 정의한 전자기장 멀티벡터 <math>\mathit{F}</math>를 대입하면 좌변은 다음과 같다.
:<math>\Box \mathit{F} = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\right)e_0(\mathbf{E} + ic\mathbf{B})</math>
<math>{e}_0\mathbf{e}_a = -\mathbf{e}_a{e}_0</math>이고 <math>{e}_0 i = {e}_0\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 = -\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3{e}_0 = -i {e}_0</math>이므로 위 식은 다음과 같다.
:<math>\Box \mathit{F} = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\right)(-\mathbf{E} + ic\mathbf{B})e_0</math>
그러므로 식은 시간에 대한 미분 부분과 공간에 대한 미분 부분으로 나눠지는데, 공간에 대한 미분 부분 중 전기장에 대한 미분 부분은 다음과 같다.
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가 되고, 보통 벡터미적분으로 기술하는 [[맥스웰 방정식]]을 대입하면
:<math>\left(\frac{\rho}{\epsilon_0} + c\mu_0 \mathbf{J}\right)e_0 = c\mu_0(\rho c +\mathbf{J})e_0 = c\mu_0 J</math>
가 된다.
=== 전자기포텐셜 ===
4차원 벡터 형식을 따르는 <math>A</math>와 앞서 언급한 <math>\Box</math>를 기하적 대수로 곱해주면 다음과 같다.
:<math>\Box A = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\right)e_0(\phi + c\mathbf{A})e_0 = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\right)(\phi - c\mathbf{A})</math>
항들을 전개하고 정리해주면,
:<math>\Box A = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t} \phi + \mathbf{\nabla} \cdot c\mathbf{A}\right) +\left(- \mathbf{\nabla}\phi - \frac{1}{c} \frac{\partial (c\mathbf{A})}{\partial t} + \mathbf{\nabla} \wedge c\mathbf{A}\right) = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t} \phi + \mathbf{\nabla} \cdot c\mathbf{A}\right) + (\mathbf{E} + ic\mathbf{B})</math>
그러므로 [[로렌츠 게이지]]를 만족한다면, <math>\Box A = F</math>라고 써질 수 있다. 3차원 벡터공간의 기하적 대수 구조가 아니라, 4차원 시공간-벡터공간의 기하적 대수 구조를 따르면, 모든 게이지에서 성립하는 공식 <math>\nabla \wedge A = F</math>를 손 쉽게 쓸 수 있다.
== 양자역학에서의 응용 ==
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