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'''허수'''(虛數, imaginary number)는 0을 포함하되 [[실수]]가 아닌 복소수를 뜻한다.
 
실수의 특성상, 제곱하면 무조건 0또는0 또는 양수가 되기때문에되기 때문에 이차방정식 <math>x^2=-1</math>을 실수의 범위에서 해를 전혀 구할 수가 없다. 그러나또한 수직선에 모든 실수를 하나하나 대응시키면, 수직선은 빈틈없이 채워지는 것으로 볼 때, 우리가 존재한다고 느낄 수 있는 수는 실수밖에 없다는 것은 필연코 부정할 수 없는 사실이다.
 
여기서 <math>x^2=-1</math> 꼴과같이꼴과 같이 실수 범위에서 전혀 구할 수 없는 해를 구하기위해구하기 위해 무엇인가를 만들어야할만들어야 할 필요성을 느낀다. 실수의 성질로써는성질로는 절대불가능한불가능한 '''제곱해서 음수가 되는 수'''를 만들어내기위해 제곱하여 -1이 되는 수 <math>\sqrt{-1}</math>를 만들어내면, 위의 이차방정식의 해는 <math>+\sqrt{-1}</math>또는<math>-\sqrt{-1}</math>이 되므로 이 수는 우리가 존재한다는 것을존재한다고 느끼는 수가 아님에도불구하고아님에도 불구하고, 이차방정식의 해가 되기때문에,되기 때문에 수학자들은 이 수가 수학적가치가수학적 가치가 있음을 인정하고 '''허수'''로 정의했고, <math>\sqrt{-1}</math>만 있으면 모든 허수들을 나타낼 수 있으므로 이 수를 imaginary number의 앞글자를 따서 [[허수 단위]] <math>i</math>라고 정의했다.
 
복소수는 실수와 허수를 포괄하는 수이며, <math>a+bi</math>로 나타낼 수 있고, 이때 a를 실수부, b를 허수부라 한다.
허수가 정의되기 전까지만 해도, 수의 개념은 1차원적이었다. 즉, 수의 개념은 오직 수'''직선'''으로만 표현되었다. 그러나 허수가 정의된 후, 수의 개념은 2차원으로 확장되었다. 즉, 수의 개념은 복소'''평면'''으로 표현된 것이다. 수의 틀을 직선에서 평면으로 확장시킨 것은 모두 '''허수'''의 덕택임을 알 수 있는 것이다.
 
또한, 허수로 인해 수의 틀이 확장되었다는 것은, 언젠가는 또 새로운 어떤 수가 발견되어 수의 틀이 '''입체'''로 확장될 수 있음을 시사한다.
 
이렇게이렇듯 허수의 발견은 복소수와 대응되는 수가 언젠가 누군가의 필요로 인해 만들어진다는만들어질 것을것임을 알려주는 위대한 발견이다.
 
== 역사 ==
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