2018년 4월 8일 (일) 00:04 판 편집 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 잔글 Doyoon1995님이 루카스 넘버 문서를 루카스 다항식 문서로 이동했습니다: 더 넓은 주제로 이동 ← 이전 편집		2018년 4월 8일 (일) 01:33 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[수학]]에서, '''루카스 다항식'''({{llang\|en\|Lucas polynomials}})은 [[에두아르 뤼카]]의 이름을 딴 [[다항식]]열이다. [[피보나치 다항식]]과 [[점화식]]이 같다. '''루카스 수'''({{llang\|en\|Lucas numbers, Lucas series}})는 루카스 다항식에 1을 대입하여 얻는 [[정수열]]이다. [[피보나치 수]]와 점화식이 같다. ~~루카스 넘버(Lucas Number,루카스 수) <math>L_n</math>~~ == 정의 == ~~루카스 넘버가 속한 일반적인 계열의 [[루카스 수열]](루카스 시퀸스)과 혼동해서는 안된다 .~~ 제2종 [[루카스 수열]]을 <math>V_n(P,Q)</math>로 쓰자. === 루카스 다항식 === 루카스 수 또는 루카스 급수(시리즈)는 수학자 [[에두아르 뤼카\|프랑수아 에두아르 아나 톨레 루카스]](1842-91)의 이름을 따서 명명한 상수로, 루카스는 [[루카스 수열]]의 그 시퀸스와 밀접하게 관련된 [[피보나치 수]]를 연구했다. '''루카스 다항식''' <math>L_n(x)</math>은 <math>V_n(2,x)</math>와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다. :<math>L_0(x)=2</math> :<math>L_1(x)=x</math> :<math>L_n(x)=xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x)</math> === 루카스 수 === ~~루카스 수와 피보나치 수는 루카스 수열의 보완적인 상수값 인스턴스를 형성한다.~~ '''루카스 수''' <math>L_n</math>은 <math>L_n(1)</math>와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다. :<math>L_0=2</math> :<math>L_1=1</math> :<math>L_n=L_{n-1}+L_{n-2}</math> 처음 몇 루카스 수는 다음과 같다. :2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, ... {{OEIS\|A000032}} 위 점화식을 음수 <math>n</math>에게도 적용하여 루카스 수를 확장할 수 있다. 이 경우 0번째, -1번째, ... 루카스 수는 다음과 같다. :1, 2, -1, 3, -4, 7, -11, 18, -29, 47, -76, 123, -199, 322, -521, ... {{OEIS\|A061084}} == 성질 == ~~즉, 루카스 수와 피보나치 수는 루카스 수열에서 서로 보완적으로 작동함으로서 그러한 인스턴스를 통해 상보성을 형성한다.~~ === 일반항 === 루카스 다항식의 [[일반항]]은 다음과 같다. :<math>L_n(x)=\left(\frac{x+\sqrt{x^2+4}}2\right)^n+\left(\frac{x-\sqrt{x^2+4}}2\right)^n =\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac n{n-k}\frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!}x^{n-k}</math> 여기서 <math>\lfloor-\rfloor</math>는 [[바닥 함수]]이다. 특히 루카스 수의 일반항은 다음과 같다. :<math>L_n=\lfloor\varphi^n+1/2\rfloor=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}=\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n</math> 여기서 <math>\varphi</math>는 [[황금비]]이다. === 항등식 === 다음과 같은 [[항등식]]이 성립한다. :<math>L_{-n}=(-1)^nL_n</math> === 생성 함수 === 루카스 다항식의 [[생성 함수]]는 다음과 같다. :<math>\sum_{n=0}^\infty L_n(t)x^n=\frac{1+x^2}{1-tx-x^2}</math> 특히 루카스 수의 생성 함수는 다음과 같다. :<math>\sum_{n=0}^\infty L_nx^n=\frac{1+x^2}{1-x-x^2}</math> === 루카스 소수 === '''루카스 소수'''({{llang\|en\|prime Lucas numbers}})는 다음과 같다. :2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... {{OEIS\|A000032}} 루카스 소수의 첨수는 다음과 같다. :0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ... {{OEIS\|A001606}} 루카스 소수의 첨수는 항상 0이거나 [[소수 (수론)\|소수]]이거나 [[2의 거듭제곱]]이다. 루카스 소수가 무한히 많다는 추측이 있다.<ref>{{웹 인용\|제목=The Prime Glossary: Lucas prime\|url=http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=LucasPrime\|웹사이트=The Prime Pages}}</ref> == 역사 == [[프랑스]] 수학자 [[에두아르 뤼카]]의 이름을 땄다. 줄 29 ⟶ 69: : <math>L_{-n}=(-1)^nL_n \!</math> ==~~함께보기~~ 같이 보기 == * [[피보나치 수]] [[알틴 상수]] [[펠 수]] ==참고 각주 == {{각주}} * {{springer\|title=Lucas polynomials\|id=p/l130120}}▼ * ([[매스월드]])http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html * {{매스월드\| urlname=LucasPolynomial \| title=Lucas Polynomial}}▼ * [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html Dr Ron Knott] * [http://milan.milanovic.org/math/english/lucas/lucas.html Lucas numbers and the Golden Section] * [http://www.plenilune.pwp.blueyonder.co.uk/fibonacci-calculator.asp A Lucas Number Calculator can be found here.] * ([[OEIS]] A000032) http://oeis.org/a000032 Lucas Numbers in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. == 외부 링크 == ▲* {{~~springer~~eom\|title=Lucas polynomials~~\|id=p/l130120~~}} ▲* {{매스월드\| ~~urlname~~id=LucasPolynomial \| title=Lucas ~~Polynomial~~polynomial}} * {{매스월드\|id=LucasNumber\|title=Lucas number}} * {{웹 인용\|성=Knott\|이름=Dr Ron\|제목=The Lucas Numbers\|url=http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html\|보존url=https://web.archive.org/web/20051126021243/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html\|보존날짜=2005-11-26\|언어=en}} * {{웹 인용\|성=Jovanovic\|이름=Radoslav\|제목=Lucas numbers and the Golden Section\|url=http://milan.milanovic.org/math/english/lucas/lucas.html\|보존url=https://web.archive.org/web/20051030021553/http://milan.milanovic.org/math/english/lucas/lucas.html\|보존날짜=2005-10-30\|언어=en}} * {{웹 인용\|제목=Calculators for Fibonacci and other Sequences\|url=http://www.plenilune.pwp.blueyonder.co.uk/fibonacci-calculator.asp\|보존url=https://web.archive.org/web/20070216024906/http://www.plenilune.pwp.blueyonder.co.uk/fibonacci-calculator.asp\|보존날짜=2007-02-16\|언어=en}} [[분류:~~수학 상수~~정수열]] [[분류:~~L-함수~~피보나치 수]]

뤼카 다항식: 두 판 사이의 차이