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뤼카 다항식: 두 판 사이의 차이

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[[수학]]에서, '''루카스뤼카 다항식'''({{llang|en|Lucas polynomials}})은 [[에두아르 뤼카]]의 이름을 딴 [[다항식]]열이다. [[피보나치 다항식]]과 [[점화식]]이 같다. '''루카스뤼카 수'''({{llang|en|Lucas numbers, Lucas series}})는 루카스뤼카 다항식에 1을 대입하여 얻는 [[정수열]]이다. [[피보나치 수]]와 점화식이 같다.
 
== 정의 ==
제2종 [[루카스뤼카 수열]]을 <math>V_n(P,Q)</math>로 쓰자.
 
=== 루카스뤼카 다항식 ===
'''루카스뤼카 다항식''' <math>L_n(x)</math>은 <math>V_n(2,x)</math>와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.
:<math>L_0(x)=2</math>
:<math>L_1(x)=x</math>
:<math>L_n(x)=xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x)</math>
 
=== 루카스뤼카 수 ===
'''루카스뤼카 수''' <math>L_n</math>은 <math>L_n(1)</math>와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.
:<math>L_0=2</math>
:<math>L_1=1</math>
:<math>L_n=L_{n-1}+L_{n-2}</math>
처음 몇 루카스뤼카 수는 다음과 같다.
:2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, ... {{OEIS|A000032}}
위 점화식을 음수 <math>n</math>에게도 적용하여 루카스뤼카 수를 확장할 수 있다. 이 경우 0번째, -1번째, ... 루카스뤼카 수는 다음과 같다.
:1, 2, -1, 3, -4, 7, -11, 18, -29, 47, -76, 123, -199, 322, -521, ... {{OEIS|A061084}}
 
== 성질 ==
=== 일반항 ===
루카스뤼카 다항식의 [[일반항]]은 다음과 같다.
:<math>L_n(x)=\left(\frac{x+\sqrt{x^2+4}}2\right)^n+\left(\frac{x-\sqrt{x^2+4}}2\right)^n
=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac n{n-k}\frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!}x^{n-k}</math>
여기서 <math>\lfloor-\rfloor</math>는 [[바닥 함수]]이다. 특히 루카스뤼카 수의 일반항은 다음과 같다.
:<math>L_n=\lfloor\varphi^n+1/2\rfloor=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}=\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n</math>
여기서 <math>\varphi</math>는 [[황금비]]이다.
34번째 줄:
 
=== 생성 함수 ===
루카스뤼카 다항식의 [[생성 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty L_n(t)x^n=\frac{1+x^2}{1-tx-x^2}</math>
특히 루카스뤼카 수의 생성 함수는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty L_nx^n=\frac{1+x^2}{1-x-x^2}</math>
 
=== 루카스뤼카 소수 ===
'''루카스뤼카 소수'''({{llang|en|prime Lucas numbers}})는 다음과 같다.
:2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... {{OEIS|A000032}}
루카스뤼카 소수의 첨수는 다음과 같다.
:0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ... {{OEIS|A001606}}
루카스뤼카 소수의 첨수는 항상 0이거나 [[소수 (수론)|소수]]이거나 [[2의 거듭제곱]]이다. 루카스뤼카 소수가 무한히 많다는 추측이 있다.<ref>{{웹 인용|제목=The Prime Glossary: Lucas prime|url=http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=LucasPrime|웹사이트=The Prime Pages}}</ref>
 
== 역사 ==
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약한 루카스뤼카 넘버즈(<math>Lucas Numbers</math>) 생성함수
:<math>L_n=\varphi^n + (1-\varphi)^{n}</math>
:<math>\quad = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}=\left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n \, </math>
61번째 줄:
==음의 정수로의 확장==
 
<math>L_{n-2} = L_n - L_{n- 1}</math>을 사용하면 루카스뤼카 수를 음의 정수로 확장하여 무한대의 두 배 시퀀스를 얻을 수 있다.
 
:<math> ..., -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... = L_n</math> <math>, \;\; -5\leq {}n \leq5</math>
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/뤼카_다항식"