유효 작용: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
잔글 봇: 빈 문단 정리 |
편집 요약 없음 |
||
13번째 줄:
마당 <math>\phi</math>의 [[진공 기댓값]] <math>\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle</math>은 다음과 같이 에너지의 [[도함수]]로 쓸 수 있다.
:<math>\phi_\text{cl}=-\frac{\delta E[J]}{\delta J}</math>.
이 식은 <math>\phi_\text{cl}</math>가 <math>J</math>에 대한 범함수로 주어진다는 것을 의미하는데, 이를 역으로 사용하여 <math>J</math>를 <math>\phi_\text{cl}</math>에 대한 범함수로 간주할 수 있다. 이를
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}]=-E[J]-\int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x)</math>
20번째 줄:
[[분배 함수]] ''Z[J]''가 [[상관함수 (양자장론)|상관함수]]의 [[생성함수 (수학)|생성함수]]고, 에너지 <math>E[J]</math>가 연결상관함수 (connected correlation function)의 [[생성함수 (수학)|생성함수]]인 것처럼, 유효 작용은 1점기약(一點旣約, one-point irreducible) 상관함수의 모함수다.
== 건드림 전개 ==
유효작용 <math>\Gamma[\phi_\text{cl}]</math>은 양자요동의 크기를 나타내는 <math>\hbar</math>에 대해서 [[섭동 이론|건드림 전개]]를 할 수 있다.
=== 0차항 계산 ===
<math>\hbar</math>의 크기를 0으로 보내는 극한에서, 분배함수 <math>Z[J]</math>는 전적으로 다음 조건을 만족하는 마당 <math>\phi_0</math>에 의해 그 값이 결정된다.
:<math>\left.\frac{\delta S[\phi]+i\langle J,\phi\rangle}{\delta \phi}\right|_{\phi = \phi_0} = 0</math>
<math>\phi_0</math>는 마당 <math>\phi</math>이 <math>S[\phi]+i\langle J,\phi\rangle</math>를 작용으로 갖을 때 구해지는 고전역학적인 해이다.
<math>\hbar \rightarrow 0</math>의 극한에서, 유효작용 <math>\Gamma[\phi_\text{cl}]</math>과 일반적인 작용 <math>S[\phi]</math>사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>-E[J]=\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x)</math>
:<math>-E[J]= -i\hbar \log Z[J]\approx-i\hbar\log\exp\left(\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)\right)\right)=S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)</math>
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x) = S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)</math>
또한 이 극한에서, 마당의 진공기대값 <math>\phi_\text{cl}</math>와 마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>\phi_\text{cl}=-\frac{\delta E[J]}{\delta J} = \frac{S[\phi_0]}{\delta \phi_0}\frac{\delta \phi_0}{\delta J} + \phi_0(x) + J \frac{\delta \phi_0}{\delta J} = \phi_0</math>
마지막 등호는 마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>가 고전적인 해로써 만족해야 했던 조건을 이용했다.
그러므로 <math>\hbar \rightarrow 0</math>의 극한에서, 마당의 진공기대값 <math>\phi_\text{cl}</math>은 마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>와 일치하며, 유효작용 <math>\Gamma[\phi_\text{cl}]</math>은 일반적인 작용 <math>S[\phi_0=\phi_\text{cl}]</math>와 일치한다. 이를 유효작용의 평균장근사라고 부르기도 한다.
=== 1차항 계산 ===
<math>\hbar</math>를 0은 아니지만 작은 수로 간주하면, 즉 <math>\hbar</math>에 대해 건드림 전개를 하면, 유효작용은 일반적인 작용에 <math>\hbar</math>에 의한 보정값이 더해진다. 이를 위해서는 마당을 마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>와 그에 더해지는 양자 요동 <math>\delta \phi</math>의 합으로 생각해야 한다.
:<math>\phi = \phi_0 + \delta \phi</math>
이로써 <math>S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)</math>를 근사적으로 전개하면 다음과 같다.
:<math>S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x) + \int d^4x\;\left(J(x) + \left.\frac{\delta S}{\delta \phi(x)}\right|_{\phi=\phi_0}\right)\delta \phi(x) + \frac{1}{2} \int d^4xd^4y\;\delta \phi(x) \frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\delta \phi(y)</math>
마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>가 고전적인 해로써 만족해야 하는 조건을 이용하면, <math>J(x) + \left.\delta S/\delta \phi(x)\right|_{\phi=\phi_0}</math>은 0임을 알 수 있다. 그렇다면 분배 함수는 다음과 같다.
:<math>Z[J]\approx \exp\left(\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)\right)\right)\int\mathcal D\delta\phi\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}\frac{1}{2}\left(\int d^4xd^4y\;\delta \phi(x) \frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\delta \phi(y)\right)\right)</math>
이 우항은 다음과 같다.
:<math>Z[J]\approx \exp\left(\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)\right)\right) \left[\det\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_0}</math>
식을 고쳐쓰면,
:<math>Z[J]\approx \exp\left(\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x) + \frac{1}{2} \left[\text{tr} \log\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_0}\right)\right)</math>
그러므로 유효작용와 일반적인 작용 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x) = S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x) + \frac{1}{2} \left[\text{tr} \log\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_0}</math>
마당의 진공기대값 또한 <math>\phi_\text{cl} = \phi_0 + \delta \phi</math> 꼴로 간주하고, 위식 우변의<math>\phi_0</math>를 <math>\phi_\text{cl}</math>에 대해 치환하고, <math>\hbar</math>의 1차항에 대해서만 정리하면 다음과 같다.
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}] = S[\phi_\text{cl}] + \frac{1}{2} \left[\text{tr} \log\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_\text{cl}}</math>
이를 1-고리 근사(one-loop approximation)이라고 부르기도 한다.
== 참고 문헌 ==
줄 26 ⟶ 62:
* S.Weinberg: ''The Quantum Theory of Fields'', Vol.II, Cambridge University Press 1996.
* D.J.Toms: ''The Schwinger Action Principle and Effective Action'', Cambridge University Press 2007.
* H. Kleinert, ''Particles and Quantum Fields'', World Scientific Publishing Company 2016.
== 같이 보기 ==
| |||