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[[수학]]에서, '''초한수'''(超限數, {{llang|en|transfinite number}})는 [[유한]]한 수를 제외한 [[순서수]]와 [[기수 (수학)|기수]]를 뜻한다. 모든 유한한 수보다 크지만, [[절대적 무한]]은 아니다. [[게오르크 칸토어]]가 절대적 무한과 구별하기 위해 처음 사용한 용어이다.
'''초한수'''는 모든 [[유한 집합|유한]]수보다 큰 수를 의미한다. 초한수가 [[절대적 무한]]일 필요성은 없으며, 초한수 사이에도 크기 비교가 가능할 수 있다.
예를 들어, <math>\omega</math>는 [[순서수]] 중 가장 작은 초한수이며, 마찬가지로 [[알레프 수|알레프-0]](<math>\aleph_0</math>)은 [[기수 (수학)|기수]] 중 가장 작은 수이다.
칸토어가 정의한 [[순서수]]는 모든 쌍의 원소가 비교 가능한 순서가 부여되었고, 모든 부분 집합이 첫 원소를 가지는 집합이되, 둘 사이에 순서 관계를 보존하는 [[일대일 대응]]이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는 개념이다. 가장 작은 초한 순서수 <math>\omega</math>는 표준적인 순서를 갖춘 [[자연수]] 집합 <math>1<2<\cdots</math>에 대응한다. 처음 몇 초한 순서수들은 다음과 같다.
:<math> {\omega +1}, ({\omega+1 }),\ times2dots, {\ omega+2}omega2, ({\ omegaomega2+ 2})1\ times2dots, {\omega +3}^2, ({\ omega+3})\times2dots, {\omega +4},({^\omega +4}),\ times2dots, {\omega +5},(^{\omega +5})\times2,{^\omega +6}, \ cdotsdots</math> ▼
== 기수 ==
마찬가지로, 칸토어가 정의한 [[기수 (수학)|기수]]는 [[집합]]에서 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는다. 가장 작은 초한 기수 <math>\aleph_0</math>([[알레프 0]])은 모든 자연수의 집합에 대응한다. 마찬가지로 <math>\aleph_1</math>은 모든 <math>\aleph_0</math> 크기의 순서수의 집합에 대응하며, <math>\aleph_2</math>는 모든 <math>\aleph_1</math> 크기의 순서수의 집합에 대응한다. 처음 몇 초한 기수들은 다음과 같다.
:<math>\aleph_0,\aleph_1,\dots,\aleph_\omega,\dots</math>
==초한수의 예역사 ==
19세기 말에 [[게오르크 칸토어]]가 처음 도입하였다.<ref name="Kline">{{서적 인용|성=Kline|이름=Morris|저자고리=모리스 클라인|제목=Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times|번역제목=수학사상사|언어=en|연도=1990|출판사=Oxford University Press|isbn=0-19-506135-7}}</ref>{{rp|998}} [[레오폴트 크로네커]] · [[펠릭스 클라인]] · [[앙리 푸앵카레]] 등의 비판을 받았으나, [[다비트 힐베르트]] · [[버트런드 러셀]] 등의 찬사를 얻기도 하였다.
아래와 같은 자연수로부터의 어떤 수 <math>{\omega}</math>(오메가)를 예약해보면,
:<math>1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, \cdots</math>
모든 자연수<math>n</math>에 <math>n \times 2</math>를 해준다.
모든 자연수는 짝수 자리로 이동한다.
:<math>\Box,2,\Box,4,\Box,6,\Box,8,\Box,10,\Box, \cdots</math>
이제 홀수였던 빈공간에 어떤 수 <math>{\omega}</math>의 집합을 집어넣어보면,
:<math>{\omega+1},2,{\omega+2},4,{\omega+3},6,{\omega+4},8,{\omega+5},10,{\omega+6}, \cdots</math>
이렇게 초한수 <math>{\omega}</math>는 정렬 외에 아직 다른 구조는 없는 [[집합]]의 순서를 나타내는 성질만 갖는다.
:초한수 <math>{\omega}</math>를 얻는다.
초한수 <math>{\omega} \times 2</math>를 예약하면,
▲:<math>{\omega+1},({\omega+1})\times2,{\omega+2},({\omega+2})\times2,{\omega+3},({\omega+3})\times2,{\omega+4},({\omega+4})\times2,{\omega+5},({\omega+5})\times2,{\omega+6}, \cdots</math>
또다른 초한수 <math>{\omega} \times 2</math>를 얻는다.
:자연수는 가산 무한집합이지만, 초한수는 비가산 무한집합이다.
== 같이 보기 ==
==초한수와 알레프 수의 크기==
* [[알레프 수]]
:[[알레프 수|알레프-0]](<math>\aleph_0</math>)은 <math>\aleph_{1}</math>[[기수 (수학)|기수]] 보다 작은 수이다.
* [[베트 수]]
:[[알레프 수|알레프-1]](<math>\aleph_1</math>)은 <math>\aleph_{\omega}</math>기수들 중 보다 작은 [[기수 (수학)|기수]]이다.
* [[초한 귀납법]]
== 각주 ==
:<math>\aleph_{\omega}</math>는 <math>\aleph_{\omega^{\omega}}</math>[[기수 (수학)|기수]]들 중 보다 작은 기수이다.
{{각주}}
==함께보기 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=TransfiniteNumber|title=Transfinite number}}
*[[모임 (수학)|모임]]
*[[기수 (수학) | 기수]]
*[[칸토어 집합]]
*[[힐베르트 호텔|힐베르트 호텔의 역설]]
==참고==
*(매스월드)http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html
*(매스월드)http://mathworld.wolfram.com/TransfiniteNumber.html
*(매스월드)http://mathworld.wolfram.com/OrdinalNumber.html
*(매스월드)http://mathworld.wolfram.com/HilbertHotel.html
[[분류:기수]]
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