미분: 두 판 사이의 차이

[[수학]]에서, '''미분'''(微分, {{llang|en|differentialderivative}}, 微分) 또는 '''도함수'''(導函數, {{llang|en|derivative}})는 어떤 [[함수]]의 정의역 속 각 점에서의 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량의 비의 [[극한]]이다 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수이다.<ref>이 극한값을 의미하는 '미분계수'라는 용어는 현대 영어권 수학계에서 더이상 사용하지 않는 용어이다. 비록 대한민국의 고등학교 교과과정에서 '미분계수', '미분', '도함수'를 서로 다른 용어로 설명하고 있으나 현대수학의 추세를 따라 본 문서에서도 용어를 통합하는 방향으로 재구성이 필요하다.</ref> 동사로서의 미분({{llang|en|differentiation}})은 이러한 극한을극한이나 도함수를 구하는 일을일 즉 미분법을 뜻하기도 한다.<ref name="방은숙">{{서적도함수로부터 인용|저자=방은숙|연도=1998|제목=미분적분학|출판사=학문사|isbn=89-467-4111-2|쪽=71}}</ref>미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요주제이다. 역사적으로나 직관적으로나, 미분의 개념은 주어진 [[변위]]의 물체의 [[순간 속도]]를 구하는 [[물리학]] 문제 및 주어진 [[곡선]]의 [[접선]]의 [[기울기]]를 구하는 [[기하학]] 문제와 연관 있다. 즉, 순간 속도는 평균 속도의 극한이며, 접선의 기울기는 할선의 기울기의 극한인데, 서로 다른 이 두 문제의 수학적 실질은 미분으로 서로 같다. 전자는 [[아이작 뉴턴]]이, 후자는 [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠]]가 연구하였다.

함수의 미분은 존재하지 않을 수 있다. 미분이 모든 곳에서 존재하는 함수를 [[미분 가능 함수]]라고 한다. 미분 가능 함수는 반드시 [[연속 함수]](=독립 변수의 변화가 미세할 때 함숫값의 변화 역시 미세한 함수)이어야 한다. 그러나 연속 함수가 반드시 미분 가능 함수이지는 않다. 함수의 미분을 정의역 속 각 점에 그 점에서의 미분을 대응시키는 [[함수]](도함수)로 여길 수 있다. 따라서, 함수의 도함수의 도함수, 함수의 도함수의 도함수의 도함수 따위를 생각할 수 있으며, 이들을 그 함수의 '''고계 도함수'''(高階導函數, {{llang|en|higher order derivative}}) 또는 '''고계 미분'''(高階微分)이라고 한다. 예를 들어, 변위의 도함수는 [[순간 속도]], 이계 도함수는 [[순간 가속도]]이다. 미분과[[미적분학의 기본 정리]]에 따르면 원시함수는 [[적분부정적분]]은과 같아서 [[미적분학정적분]]에서을 다루는미분법의 두역연산을 가지통해 기본구할 연산인데,수 [[미적분학의있으므로 기본미분과 정리[[적분]]에 따라 이 둘은은 대략 서로 역연산의 관계이다.