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</math>
이 되어 쉽게 이를 확인할 수 있다. (여기서 ε<sub>ijk</sub>는 [[레비-치비타 기호]]이다.)
또한, [[회전변환]] 행렬의 [[행렬식]]의 값이 1이기 때문에, 스칼라 삼중곱의 값은 좌표의 회전에 대해 값이 변하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다.
===스칼라와스칼라 또는 유사 스칼라===
스칼라 삼중곱의 결과는 보통 [[유사스칼라]]이다. 만약 좌표계의 [[방향]]이 미리 주어지고 고정되면 유사스칼라는 (진짜) [[스칼라]]와 큰 차이는 없지만, 같아진다.
The scalar triple product typically returns a [[pseudoscalar]], although a pseudoscalar is equivalent to a (true) [[scalar]] if the [[orientation (mathematics)|(mathematical) orientation]] of the coordinate system is selected in advance and fixed.
좀더 정확히 말하면, '''a''' · ('''b''' × '''c''') 는
* 둘 모두 [[유사벡터]]
일 때만 (진짜) 스칼라이다. 다른 경우, 스칼라 삼중곱의 결과는 [[유사스칼라]]이다.
Otherwise, it is a pseudoscalar. For instance, if '''a''', '''b''', and '''c''' are all vectors, then '''b''' × '''c''' yields a pseudovector, and '''a''' · ('''b''' × '''c''') returns a pseudoscalar.
===스칼라 삼중곱과 쐐기곱===
위의 첫번째 공식은 흔히 '''삼중곱 전개''' 또는 '''라그랑주 공식'''
<ref>[[Joseph조제프 Louis루이 Lagrange라그랑주]]는 did벡터곱을 not벡터에 develop대한 the대수적 cross곱으로 product전개하진 as않았다. an하지만 algebraic그는 product성분으로 on구성된 vectors,동등한 but형태를 did use an equivalent form of it in사용했다. components: see {{cite book|author=Lagrange, J-L|title=Oeuvres|volume=vol 3|chapter=(1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires|year=1773}}", HeOeuvres may'''vol have3'''. written참조. a또한 formula그는 similar벡터 to삼중곱 the전개의 triple성분으로 product된 expansion형태를 in사용했었다. component[[라그랑주의 항등식]] 또는 Kiyoshi Ito (1987). ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics''. MIT Press, p. 1679. ISBN 0262590204. form참조.</ref>
[[Lagrange's identity]] 또는 Kiyoshi Ito (1987). ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics''. MIT Press, p. 1679. ISBN 0262590204. 를 보시오.</ref>
또는 '''백캡 규칙'''({{llang|en|back cap rule}})
<ref>Reitz, Milford, Christy(2006). ''Foundations of Electromagnetic Theory''. Pearson Education, Inc, Benjamin Cummings. p. 5.</ref>
이라고 불린다.
The first formula is known as '''triple product expansion''', or '''[[Lagrange's formula]]'''.
Its right hand member is easier to remember by using the [[mnemonic]] “BAC minus CAB”, provided you keep in mind which vectors are dotted together.
또한 [[그래디언트]]가 들어간 삼중곱과 관계된 항등식은 [[벡터 미적분학]]과 여러 [[물리학]]의 분야에서 유용하게 쓰인다.
These formulas are very useful in simplifying vector calculations in [[physics]]. A related identity regarding [[gradient]]s and useful in [[vector calculus]] is
:<math> \begin{align}
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{f})
- \mbox{laplacian } \mathbf{f}.
\end{align} </math>
This이 can be also regarded as a special case of the more general식은 [[Laplace_operator#Laplace-de_Rham_operator|Laplace라플라스-de드 Rham람 operator연산자]] <math>\Delta = d \delta + \delta d</math> 의 특별한 경우로 볼 수도 있다.
===Vector벡터 or또는 pseudovector유사벡터===
A벡터 vector삼중곱의 triple결과는 product typically returns a보통 (true진짜) vector벡터이다. More좀더 exactly,정확히 according to the rules given in [[Cross product#Cross product and handedness|cross product and handedness]]말하면, the triple product만약 '''a''' ×또는 ('''b''' × '''c''') is중 a하나가 vector[[유사벡터]]라면 if either삼중곱 '''a''' or× ('''b''' × '''c''')의 (but겨로가는 not벡터이다. both)하지만 다른경우엔 are모두 [[pseudovector유사벡터]]s이다. Otherwise, it is a pseudovector. For예를 instance들어, if만약 '''a''', '''b''', and '''c'''가 are모두 all vectors벡터라면, then '''b''' × '''c'''는 yields a pseudovector유사벡터이고, and '''a''' × ('''b''' × '''c''')는 returns a벡터가 vector된다.
== 정의 불가능한 삼중곱들 ==
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