"일반화 좌표"의 두 판 사이의 차이

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'''일반화 좌표'''(Generalized{{llang|en|generalized coordinates}})는 물리적 계를[[계]]를 더 쉽게 분석하기 위해 사용되는 여러 종류의 비표준 [[좌표계매개변수]]를 통틀어 일컫는집합을 말이다말한다. [[데카르트 좌표계]]가 표준이던 시절에 붙여진 이름이다.
 
== 일반화 좌표의 수학적 정의 ==
n개의 [[자유도 (물리학)|자유도]]를 가진 계가 일반화 좌표 <math>\lbrace\mathbf{q_1},\mathbf{q_2}, ..., \mathbf{q_n} \rbrace</math>로 완전히 나타내질 [[필요충분조건]]은 <math>\lbrace\mathbf{q_i}\rbrace</math>들이 전부 서로 독립적이라는 것이다. 일반화 좌표는 복잡계를 가장 편리한 좌표계([[관성계]]가 아닐 수도 있다)를 통해 분석할 수 있는 유연성을 제공한다.
N개의 입자를 가진 [[계]]와 이 계의 [[좌표]]들간의 제약을 주는 k개의 [[홀로노믹 구속]]
:<math>f_i (x_1, \; x_2, \; x_3, \; \cdots, \; x_n, \; t)\quad i = 1,\;2,\;\cdots,\;k</math>
이 있다 하자. 이 때, 이 계의 [[자유도 (물리학과 화학) |자유도]]는 [[회전]]과 같은 자유도를 무시하고 [[병진_(물리학)|병진]]에 의한 자유도만을 고려하면 3N-k개의 자유도를 가지게 된다. 그리고 이 때, 이 계를 기술하는 3N-k개의 서로 [[독립]]인 좌표의 집합 {q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub>, …, q<sub>3N-k</sub>}를 '''일반화 좌표'''라 한다. 이 좌표는 말 그대로 일반화된 좌표로 [[관성계]]일 필요도 없고, 뉴턴 역학에서 자주 쓰는 [[데카르트 좌표계]]일 필요도 없다. 심지어, 길이의 차원을 가지지 않는 [[각]] 또한 일반화 좌표가 될 수 있다. 임의의 3N-k개의 매개변수가 계의 상태를 완벽히 표현할 수 있다면, 이 매개변수들은 일반화좌표가 될 수 있다. 이를 통해, 기존의 좌표계들과 달리 운동을 분석할 수 있는 유연성을 제공해준다.
 
==함께 보기==
[[그림:Double-Pendulum.svg|right|thumb|200px|이중 진자]]
'''평면 위에서 운동하는 [[이중진자]]'''는 [[데카르트 좌표계]]를 사용하면, 다음과 같이 {x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub> x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>} 네 개의 좌표를 사용하면 운동을 기술할 수 있다. 하지만 이 운동의 자유도는 2이기 때문에, [[데카르트 좌표계]]보다 일반화 좌표를 사용하면 더 편리하게 운동을 기술할 수 있다. 보통 이 문제를 기술하기 위해서 왼쪽 그림과 같이 각 &theta;<sub>1</sub>, &theta;<sub>2</sub>를 일반화 좌표로 사용한다. 그에 관계된 [[좌표변환|변환]]식은 다음과 같다.
:<math>\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace L_1\sin\theta_1, L_1\cos\theta_1 \rbrace</math><br>
:<math>\lbrace x_2, y_2 \rbrace = \lbrace L_1\sin\theta_1+L_2\sin\theta_2, L_1\cos\theta_1+L_2\cos\theta_2 \rbrace</math>
 
'''끈 위에서 움직이는 구슬'''의 경우 자유도가 1이므로 일반화 좌표를 사용하면 매우 쉽게 운동을 기술할 수 있다. 끈위의 어느 기준점으로부터 구슬까지의 끈을 따라서 잰 거리 l을 일반화 좌표로 사용하면 원래는 3차원 좌표를 써서 복잡하게 풀어야 할 문제가 1차원 문제로 쉬워지는걸 확인할 수 있다.
 
'''임의의 면 상에서 움직이는 물체'''의 운동은 3차원 상에서 이루어지지만 2개의 자유도를 가지고 있다. [[구]] 위에서 움직이는 물체를 생각해보면, [[구면 좌표계]]의 각 좌표, &theta;, &phi;를 변수로 사용하는 것이 좋다. 나머지 좌표 r은 계의 [[홀로노믹 구속]]에 의해 쉽게 없어짐을 볼 수 있다.
 
== 일반화 속도 ==
어떤 순간의 계의 상태를 기술하기 위해선 좌표만으로도 충분하다. 하지만 그 계의 동역학적 상태를 알기 위해선 입자들의 위치만을 알아서는 부족하다. 입자들의 운동 상태에 대한 정보도 함께 알아야 한다. 이를 기술하기 위해 각 일반화 좌표의 시간에 대한 미분, '''일반화 속도'''({{llang|en|generalized velocity}})란 개념을 도입한다.
:<math>\dot{q}_i \equiv {d q_i \over dt}</math>
이 값을 알면 이후의 계의 상태를 추적할 수 있다. 여기에 일반화 속도의 역학적 중요성이 있다.
 
=== 운동에너지 ===
라그랑주 역학에서는 일반화 좌표로 기술되는 운동에너지 T를 자주 구하게 된다. 하지만 이는 일반적으로 다음과 같은 일반화 속도의 [[이차형식]]으로 나타나지 않음에 주의하자.
:<math>T \neq \sum_i c_i \dot{q}_i^2</math>
일반적으로 이를 구하기 위해서는 아래와 같이
:<math>T =\sum_{i=1} ^N \frac {m_i}{2} \left ( \dot x_i^2 + \dot y_i^2 + \dot z_i^2 \right )</math>
[[데카르트 좌표계]]를 통해 먼저 운동 에너지를 구하고, 이를 일반화 좌표로 변환시켜 사용하게 된다.
:<math>x_i = x_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )</math>
:<math>y_i = y_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )</math>
:<math>z_i = z_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )</math>
여기서, 운동에너지를 구하기 위한 [[데카르트 좌표계]]는 항상 [[관성계]]이어야 함에 주의하자. 하지만 변환 후의 일반화 좌표는 [[관성계]]일 필요는 없다. 이 좌표 선택의 자유도가 일반화 좌표의 장점이다.
 
== 함께 보기 ==
*[[라그랑주 역학]]
*[[자유도 (물리학)|자유도]]
[[분류:라그랑주 역학]]
[[분류:동역학계]]
[[분류:강체]]
 
[[ca:Coordenades generalitzades]]

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