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{{참조|원뿔 곡선}}
[[파일:Conic sections 2n.png|thumb|300px|마주 보는 두 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취가 원뿔 곡선이다. 제일 왼쪽의 A가 포물선이다.]]
[[원뿔 곡선]]의 엄밀한 정의는 [[메나이크모스]]에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 [[정육면체]]의 [[부피]]를 두배로 늘리는 문제<ref group="주해">정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 [[미노스]]의 묘비에 얽힌 전설, [[아폴로]]의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, {{ISBN |89-7282-298-1}}, 95-96쪽</ref>, 즉 <math>x^3 = 2</math>의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.<ref>토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, {{ISBN |978-89-9176-244-2}}, 366쪽</ref><ref group="주해">메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 [[오마르 하이얌]]이 포물선과 원을 이용하여 <math>x^3 + ax = b </math> 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN |978-89-6105-603-8}}, 88-89쪽</ref>
 
원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 [[페르게의 아폴로니오스]]로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.<ref name="EVE156">Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, {{ISBN |89-7282-298-1}}, 156-157 쪽</ref>
 
[[아르키메데스]]는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러쌓인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 {{frac|4|3}}임을 증명하였다.<ref>{{서적 인용|성=Stein|이름=Sherman|번역자=이우영|제목=아르키메데스|출판사=경문사|연도=2006|isbn=89-7282-926-9|쪽=87}}</ref> 아르키메데스의 증명 과정을 간략히 소개하면,
[[파일:Parabolic Segment Dissection.svg|thumb|center|포물선과 직선으로 둘러쌓인 도형의 넓이]]
 
17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, [[고전역학]]의 [[등가속도운동]]의 계산<ref>오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, {{ISBN |978-89-5624-190-6}}, 137-138쪽</ref>이나 [[반사망원경]]과 같은 [[광학]] 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.<ref name="George616">George F. Simmons, 고석구 외 역, 《미적분학과 해석기하》, 경문사, {{ISBN |89-7282-435-6}}, 616쪽</ref> 1604년 경 [[갈릴레이]]는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.<ref>스티브 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN |978-89-6105-603-8}}, 612쪽</ref> 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. [[토목공학]]에서 [[흙댐]]의 [[침윤선]]을 작도할 때도 사용된다.<ref>{{서적 인용 |저자1=장병욱 |저자2=전우정 |저자3=송창섭 |저자4=유찬 |저자5=임성훈 |저자6=김용성 |날짜=2010 |제목=토질역학 |출판사=구미서관 |쪽=109 |isbn=978-89-8225-697-4 }}</ref>
 
== 포물선의 방정식 ==
로 나타낼 수 있다. 이를 x축으로 h만큼, y축으로 k만큼 평행 이동하면
: <math> y - k = \frac{(x - h)^2}{4p} </math> --- ⓑ
이 된다.<ref name="스티브69">스티브 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN |978-89-6105-603-8}}, 69쪽 - 이 책에서는 초점을 원점에 놓은 포물선을 평행이동 시켜 일반적인 관계식을 구한다. 그러나 그 결과는 본질적으로 같다.</ref>
 
이때 초점과 준선 역시 평행이동 되므로 초점은 <math>(h,k+p)</math>, 준선은 <math>y=k-p</math>가 된다.
[[파일:Parabel-tk-s.svg|thumb|포물선 위의 한 점에서 만나는 접선은 유일하다.]]
 
포물선 위의 한 점에서 만나는 [[접선]]의 [[기울기]]는 포물선의 방정식을 [[미분]]하여 구할 수 있다.<ref>고바야시 미치마사, 조윤동 역, 《문과 학생을 위한 미적분》, 아카데미, {{ISBN |978-89-7616-425-4}}, 85-92쪽</ref>
 
예를 들어 <math>y=x^2</math> 위의 한 점 <math>P(1,1)</math>와 만나는 접선의 기울기를 계산하면,

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