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== 역사 ==
[[고대 그리스]]의 수학자 [[헤론]]은 [[거듭제곱]]하여 [[음수]]가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있다. [[1572년]] 이탈리아의 수학자 [[라파엘 봄벨리]]가 허수 단위를 정의하였다. 이후 [[르네 데카르트]]가 《[[방법서설]]》의 부록 〈기하〉({{llang|fr|La Géométrie}})에서 상상의 수(imaginary numbers)라고 부른 데에서 허수라는 이름이 정착되었다. <ref> Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, {{ISBN |0-691-12309-8}}, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.</ref> 허수라는 이름은 [[레온하르트 오일러]]와 [[카를 프리드리히 가우스]]에 의해 널리 알려졌으며, 오일러는 허수 단위 기호로 <math>i</math> 를 도입하였다. 또한 오일러는 이것을 방정식<math>x^3+y^3=z^3</math> 일때 이 방정식을 만족하는 정수해는 없다는 것을 증명할 때 사용하였다. 1799년 [[카스파르 베셀]]이 복소수의 기하학적 표현을 완성하였다.<ref>Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). [http://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space]. Springer. p. 382. {{ISBN |0-387-96458-4}}., [http://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC&pg=PA382 Chapter 10, page 382]</ref>
 
1843년 [[윌리엄 로언 해밀턴]]은 복소수를 확장하여 [[사원수]] 체계를 만들었다.<ref>[http://books.google.com/?id=TCwPAAAAIAAJ&printsec=frontcover&dq=quaternion+quotient+lines+tridimensional+space+time#PPA60,M1 Hamilton]. Hodges and Smith. 1853. p. 60.</ref>
한 평면상에 [[직교 좌표계]]를 정하고 이에 대한 한 점 Z 의 위치 (x, y)를 <math>x + y i </math>로 정하여 복소수를 평면상의 점으로 표시할 수 있다. 이 때, 좌표와 복소수는 [[일대일 대응]]을 이룬다. 또한, 이렇게 나타낸 점 Z(x,y)는 [[극좌표]]를 사용하여 [[원점]]에서 부터 점 Z 사이의 [[반지름]]과 [[각도]]로서도 나타낼 수 있다. 즉,
:<math>Z(x,y) = x + yi = r \theta </math>
가 된다.<ref>구기준 외, 알기 쉬운 공업 수학, 기문사, 1998년, {{ISBN |89-7723-112-4}}, 36-37쪽</ref>
 
한편, 왼쪽의 그림과 같이 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대인 <math>Z = x +yi</math> 와 <math> \overline{Z} = x - yi</math> 를 생각할 수 있다. 이를 켤레복소수([[복소켤레]])라고 한다. 켤레 복소수는 극좌표에서 반지름이 같고 x축에 대해 대칭인 점이 된다.<ref>구기준 외, 알기 쉬운 공업 수학, 기문사, 1998년, {{ISBN |89-7723-112-4}}, 36쪽</ref>
 
복소평면에서 허수의 위치를 극좌표를 사용하여 나타낼 수 있으므로, 임의의 단위 원을 그려 복소수와 삼각함수의 관계를 생각할 수 있다. 1714년 영국의 수학자 [[로저 코츠]]는 [[자연로그]]가 다음과 같은 [[삼각함수]]의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.
1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 [[지수함수]]로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.
: <math>e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x</math>
이를 [[오일러의 공식]]이라 한다.<ref>김원기, 꿈꾸는 과학, 풀로엮은집, 2008년, {{ISBN |89-90431-96-4}}, 206쪽</ref>
 
== 수 체계 ==
[[w:ko:수 (수학)|수 체계]]에서 허수는 [[복소수]]와 함께 다루어지는 것이 보통이다. 이를 복소수체라고 하며 <math>\mathbf{C}</math> 로 나타낸다.<ref>정용욱, 대학수학, 기전연구사, 2008, {{ISBN |89-336-0771-4}}, 14쪽</ref>
 
== 함께 보기 ==

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