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'''교환자'''({{llang|en|commutator}})란 [[수학]]에서 어떤 [[이항연산]]에 대해 [[교환법칙]]이 성립하는 지를 알려주는 [[연산자]]이다. [[환론]]과 [[군론]]에서 정의가 다르다.
== 환론 ==<!-- This section is linked from [[Lie algebra]] -->
[[군_(수학)|군]] G의 두 원소 g와 h에 대한 [[교환자]]는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\left[ g,h \right] := g^{-1} h^{-1} gh</math>
여기서, 두 원소 g와 h에 대한 교환법칙이 성립한다는 것은것(즉, gh = hg)은 군의
It is equal to the group's identity if and only if ''g'' and ''h'' commute (i.e. if and only if ''gh'' = ''hg'').
===성질===
교환자에 대한 여러 성질은 [[군론]]에서 중요한 도구중의 하나이다.<ref>McKay, Susan (2000), ''Finite p-groups'', Queen Mary Maths Notes, 18, University of London, [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1802994 MR1802994], [http://ko.wikipedia.org/w/index.php?title=Special%3ABookSources&isbn=9780902480179 ISBN 978-0-902480-17-9], p. 4</ref> 여기서 a<sup>x</sup>라 표기된 부분은 x<sup>−1</sup>a x를 나타낸다.
* <math>x^y = x[x,y].</math>
위에서 a<sup>x</sup>에 대한 정의는 주로 군 이론가들이 사용하는 정의이다. 많은 다른 수학자들은 위를 xax<sup>−1</sup>로 정의하여 사용하기도 한다. 이는 보통 <sup>x</sup>a 로 나타낸다. 비슷한 성질이 이 정의에서도 성립한다.
A wide range of identities are used that are true modulo certain subgroups. 이는 [[가해군]]과 [[거듭제곱이 영인 군]]을 다룰 때 유용하다. 예를 들어, 어떤 그룹의 제곱은 다음과 같이 행동한다.
N.B. The above definition of the conjugate of ''a'' by ''x'' is used by group theorists. Many other mathematicians define the conjugate of ''a'' by ''x'' as ''xax<sup>−1</sup>''. This is usually written <math>{}^x a</math>. Similar identities hold for these conventions.
A wide range of identities are used that are true modulo certain subgroups. These can be particularly useful in the study of [[solvable group]]s and [[nilpotent group]]s. For instance, in any group second powers behave well
: <math> (xy)^2 = x^2y^2[y,x][[y,x],y].</math>
만약 [[유도된 부분군]]이 중심이면,
If the [[derived subgroup]] is central, then
:<math>(xy)^n = x^n y^n [y,x]^{\binom{n}{2}}.</math>
이 된다.
== 차수 붙은 환과 대수==
:<math>\ [\omega,\eta]_{gr} := \omega\eta - (-1)^{\deg \omega \deg \eta} \eta\omega</math>
== Derivations미분 ==
다중의 교환자를 다루는 특별한 경우엔, 다음과 같은 [[딸림표현]]이 유용하게 사용되기도 한다.
Especially if one deals with multiple commutators, another notation turns out to be useful involving the [[adjoint representation]]:
: <math>\operatorname{ad} (x)(y) = [x, y] . </math>
Then이 때, <math> {\rm ad} (x) </math> is a는 [[derivation 미분_(abstract algebra추상대수학)|derivation미분]]이 and되고 <math> {\rm ad} </math> is은 linear,[[선형성|선형]] ''i.e.''(즉, <math>{\rm ad} (x+y)={\rm ad} (x)+{\rm ad} (y)</math> and이고 <math>{\rm ad} (\lambda x)=\lambda\,\operatorname {\rm ad} (x)</math>,) and이 a되고, [[Lie리 algebra대수]] homomorphism,[[준동형]] ''i.e'',(즉 <math>{\rm ad} ([x, y])=[{\rm ad} (x), {\rm ad}(y)]</math>,) but이 it된다. is하지만 '''not'''이는 always언제나 an대수 algebra[[준동형]] homomorphism, ''i.e'' the(다음 identity항등식 <math>{\operatorname{rm ad}(xy) = {\operatorname{rm ad}(x)\operatorname{\rm ad}(y) </math> 이 '''does일반적으로 not성립하지 hold in general않는다'''.) 이 되진 않는다
예 :
Examples:
* <math>{\rm ad} (x){\rm ad} (x)(y) = [x,[x,y]\,]</math>
* <math>{\rm ad} (x){\rm ad} (a+b)(y) = [x,[a+b,y]\,]</math>
*[[반대칭성]]
*[[미분_(추상대수학)]]
*[[Pincherle빙케를레 derivative미분]]
*[[푸아송 괄호]]
*[[표준 교환 관계]]
*[[Canonical commutation relation]]
== 주석 ==
== 참고문헌 ==
*{{citation | last1 = Griffiths | first1 =, David J. |(2004), title=''Introduction to Quantum Mechanics | edition = (2nd ed. |ed.)'', publisher=Prentice Hall, |year=2004ISBN |isbn=0-13-805326-X}}
*{{citation | last1=Liboff, | first1=Richard L. | author1-link = Richard L. Liboff |(2002), title=''Introductory Quantum Mechanics'', | publisher=Addison-Wesley, |ISBN year=2002 | isbn=0-8053-8714-5}}
*{{Citation | last1=McKay, | first1=Susan |(2000), title=''Finite p-groups'', |Queen Mary Maths Notes, 18, publisher=University of London, | series[http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=Queen1802994 MaryMR1802994], MathsISBN Notes | isbn=978-0-902480-17-9 | id={{MathSciNet | id = 1802994}} | year=2000 | volume=18}}.
[[분류:군론]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:항등식]]
[[Category:Mathematical identities]]
[[cs:Komutátor (algebra)]]
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