유효 작용: 두 판 사이의 차이

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:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}]=-V(\phi_\text{cl})\int d^4x.</math>
 
== 1점기약 상관함수의 모함수 ==
[[분배 함수]] ''Z[J]''가 [[상관함수 (양자장론)|상관함수]]의 [[생성함수 (수학)|생성함수]]고, 에너지 <math>E[J]</math>가 연결상관함수 (connected correlation function)의 [[생성함수 (수학)|생성함수]]인 것처럼, 유효 작용은 1점기약(一點旣約, one-point irreducible) 상관함수의 모함수다.
 
=== 2점 상관함수 ===
유효작용의 2계 미분항 <math>\Gamma^{(2)} = \frac{\delta^2 \Gamma[\phi_\text{cl}]}{\delta \phi_\text{cl}(x) \delta \phi_\text{cl}(y)}</math>와 에너지 범함수 <math>E[J]</math>로부터 얻은 2점 연결상관함수 <math>G^c_{(2)}=i\frac{\delta^2 E[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}</math> 사이의 관계를 다음과 같이 찾을 수 있다.
:<math>\Gamma^{(2)} = \frac{\delta (\delta \Gamma / \delta \phi_\text{cl}(y))}{\delta \phi_\text{cl}(x)}= - \frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)} = -\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}\right)^{-1} = \left(\frac{\delta^2 E[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}\right)^{-1}</math>
따라서 둘은 <math>G^c_{(2)}=i(\Gamma^{(2)})^{-1}</math>의 관계를 가진다.
 
위의 식에서 <math>\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}\right)^{-1}</math>는 범함수적으로 이해되어야 하며, 이는 <math>\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}\right)^{-1}</math>라는 범함수가 <math>M_{xy}</math>와 같은 행렬 형태로 간주되어 <math>\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}</math>의 역행렬의 역할을 수행하는 것으로 이해되야 함을 의미한다. 이는 <math>(\Gamma^{(2)})^{-1}</math>도 마찬가지이다. 이러한 맥락에서 <math>\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}\right)^{-1}</math>라는 범함수는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\int d^4b \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(b)}\right)\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(c)}{\delta J(b)}\right)^{-1} = \delta (a-c)</math>
이와 같은 <math>\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}\right)^{-1}</math>의 정의로부터, <math>\frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)} = \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}\right)^{-1}</math>의 식을 유도할 수 있다.
:<math>\frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)} = \int d^4 a \frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(a)} \delta(a-x) = \int d^4 a \frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(a)} \int d^4 b \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(b)}\right)\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(b)}\right)^{-1} = \int d^4 b \left(\int d^4 a \frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(b)}\right)\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(b)}\right)^{-1} = \int d^4 b \frac{\delta J(y)}{\delta J(b)}\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(b)}\right)^{-1} = \int d^4 b \, \delta(y-b)\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(b)}\right)^{-1}</math>
 
잘 알려진 대로, 양자장론이 다루는 대부분의 물리적 2점 연결상관함수는 운동량 <math>p</math>을 기저로 선택한 표현에서 1입자기약 (1PI, 1 Particle Irreducible) 함수를 이용해서 나타낼 수 있으며, <math>\phi^4</math> 이론의 경우, 그 표현은 <math>-i/(p^2 + m^2 -\Pi(p))</math>이다. 여기서 <math>\Pi(p)</math>는 <math>\phi^4</math> 이론의 1입자기약 함수이다.
따라서, <math>\phi^4</math> 이론의 경우에 <math>\Gamma^{(2)}</math>는 <math>-p^2 - m^2 +\Pi(p)</math>의 꼴을 가진다. 일반적으로, 1입자기약 함수 <math>\Pi(p)</math>가 상호작용의 효과가 나타난 기약함수인 것을 고려하면, <math>-p^2 - m^2</math>는 상호작용의 효과가 없는 항이고, <math>\Pi(p)</math>는 상호작용의 효과가 있는 항으로 생각될 수 있으며, 이 둘이 합해 1점기약 상관함수를 이룬다고 생각할 수 있다.
 
=== 3점 기약함수 ===
유효작용의 3계 미분항 <math>\Gamma^{(3)}</math>와 3점 연결상관함수 <math>G^c_{(3)}</math>의 관계는 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>G^c_{(3)} = \frac{1}{i}\frac{\delta G^c_{(2)}(x,y)}{\delta J(z)} = \frac{1}{i}\int d^4 a \frac{\delta G^c_{(2)}(x,y)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(z)} = \frac{1}{i}\int d^4 a \frac{\delta i (\Gamma^{(2)} (x,y))^{-1}}{\delta \phi_\text{cl}(a)}\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(z)} = \int d^4 a \left( \int d^4 b \int d^4 c -(\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1}(\Gamma^{(2)} (y,c))^{-1} \Gamma^{(3)}(b,c,a) \right)\left(-(\Gamma^{(2)} (a,z))^{-1}\right)</math>
여기서 <math>(\Gamma^{(2)} (x,y))^{-1}</math>의 범함수 미분은, 앞서 정의한 역범함수의 정의로부터 구할 수 있다. 역범함수의 정의가 되는 식의 양변을 미분하면, 우변의 델타함수는 함수 <math>\phi_\text{cl}(a)</math>에 대해 상수이므로 0이 된다. 미분한 좌변은 다음과 같다.
:<math>\int d^4 b \frac{\delta (\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1}}{\delta \phi_\text{cl}(a)} \Gamma^{(2)} (b,c) + \int d^4 b(\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1} \frac{\delta \Gamma^{(2)} (b,c)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}= 0</math>
위의 식에 <math>\int d^4 c(\Gamma^{(2)} (c,y))^{-1}</math>을 적분해주면, 다음과 같다.
:<math>\frac{\delta (\Gamma^{(2)} (x,y))^{-1}}{\delta \phi_\text{cl}(a)} = - \int d^4 b \int d^4 c(\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1} (\Gamma^{(2)} (y,c))^{-1}\frac{\delta \Gamma^{(2)} (b,c)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}</math>
앞서 구한 <math>\Gamma^{(3)}</math>와 <math>G^c_{(3)}</math> 사이의 관계를 정리하면 다음과 같다.
:<math>G^c_{(3)}(x,y,z) = \int d^4 a \int d^4 b \int d^4 c (\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1} (\Gamma^{(2)} (y,c))^{-1} (\Gamma^{(2)} (z,a))^{-1} \Gamma^{(3)}(a,b,c) = \int d^4 a \int d^4 b \int d^4 c \, G^c_{(2)}(x,b) G^c_{(2)}(y,c) G^c_{(2)}(z,a) \, i\Gamma^{(3)}(a,b,c)</math>
잘 알려졌다시피, 좌변의 연결상관함수는 모든 연결된 파인만 도형의 합으로 생각될 수 있다. 좌변과 같은 값을 갖는 우변을 보면, 세 개의 <MATH>G^c_{(2)}</MATH>가 x, y, z 점에서 뻗어나가고 있는데, 이 2점 연결함수부분을 절단(amputate)하고 나면, <math>i\Gamma^{(3)}(a,b,c)</math>만이 남는다. 이는 1점기약 상관함수의 정의인 '한 개의 선분을 자름으로써 두 부분으로 나누어질 수 없는 파인만 도형들의 합'과 일치한다.
 
=== n점 기약함수 ===
유효작용의 일반적인 n계도 미분항이 n점 기약함수와 일치하는지 여부도 3점 기약함수와 비슷한 방법으로 알 수 있다. n점 연결상관함수를 유효작용의 미분항으로 표현하면, n-1점 기약함수, n-2점 기약함수에서부터 2점 기약함수까지의 여러 기약함수들과 유효작용의 n계도 미분항을 일정하게 곱한 것들의 합으로 주어지는데, 3점 기약함수에서 본 것과 같이, 그 각각의 파인만 도형에서의 성질을 생각하면, n계도 미분항은 '한 개의 선분을 자름으로써 두 부분으로 나누어질 수 없는 파인만 도형들의 합'과 일치함을 볼 수 있다.
 
== 건드림 전개 ==