푸아송 다양체: 두 판 사이의 차이
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=== 자명한 푸아송 다양체 ===
임의의 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 매끄러운 함수 공간에 [[아벨 리 대수]]의 구조를 주면 (<math>\{f,g\}=0</math>), 이는 푸아송 구조를 이룬다. 이는 자명한 푸아송 텐서장 <math>\pi = 0</math>에 해당한다. [[리 준대수]]로서, 이는 아벨 리 준대수(즉, [[리 괄호]]가 모두 0인 것)에 해당한다.
이 경우, 심플렉틱 잎들은 [[한원소 공간]]들이다.
=== 심플렉틱 다양체 ===
줄 91 ⟶ 93:
:<math>\{f,g\}=\omega^{-1}(\mathrm df,\mathrm dg)</math>
를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다.
이 경우, 심플렉틱 잎들은 <math>M</math>의 [[연결 성분]]들이다.
=== 리 대수의 쌍대 공간 ===
줄 98 ⟶ 102:
:<math>\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g</math>
이므로, 우변에 [[리 괄호]]를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 '''리-푸아송 구조'''({{llang|en|Lie–Poisson structure}})라고 한다.
[[리 지수 사상]]에 따라 <math>\mathfrak g=\operatorname{lie}(G)</math>가 되는 [[단일 연결]] [[리 군]] <math>G</math>를 정의하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g^*</math>는 물론 [[리 군]] <math>G</math>의 [[군의 표현|표현]]을 이룬다. <math>\mathfrak g^*</math>의 심플렉틱 잎들은 <math>\mathfrak g^*</math> 속의, <math>G</math>에 대한 궤도에 해당한다. 이를 '''쌍대딸림표현 궤도'''({{llang|en|coadjoint orbit}})라고 한다.
== 역사 ==
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