푸아송 다양체: 두 판 사이의 차이
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이 경우, 심플렉틱 잎들은 <math>M</math>의 [[연결 성분]]들이다.
=== 선형 푸아송 다양체 ===
[[유클리드 공간]] <math>V=\mathbb R^n</math> 및 <math>V^*</math> 위의 임의의 반대칭 [[쌍선형 형식]] <math>\pi(-,-)</math>을 고르자. 그렇다면, 모든 점 <math>x\in V</math>에서 <math>\mathrm T_xV = V</math>이므로, <math>(V,\pi)</math>는 푸아송 다양체를 이룬다.
[[실수 선형 변환]] <math>\pi^\#\colon V^* \to V</math>의 계수가 <math>2r</math>라고 하자. 그렇다면, <math>V</math>의 적절한 [[기저 (선형대수학)|기저]]
:<math>(x_1,\dotsc,x_n) \subseteq V</math>
및 그 쌍대 기저
:<math>(x^1,\dotsc,x^n) \subseteq V^*</math>
에 대하여,
:<math>\pi\left(\sum_{i=1}^na_ix^i,\sum_{j=1}^nb_jx^j\right) = \sum_{i=1}^r (a_{2i-1}b_{2i} - a_{2i} b_{2i-1})</math>
가 되게 할 수 있다. 이 경우, <math>x_{2r+1},\dotsc,x_n</math>에만 의존하는 임의의 함수는 카시미르 함수를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각
:<math>c \in \operatorname{Span}\{x_{2r+1},\dotsc,x_n\}</math>
에 대하여
:<math>\mathbb R^{2r} \times \{c\}</math>
의 꼴이다. 특히, 만약 <math>n=2r</math>일 경우 이는 [[심플렉틱 벡터 공간]]을 이룬다.
=== 리 대수의 쌍대 공간 ===
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