푸아송 다양체: 두 판 사이의 차이
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푸아송 사상 가운데 [[미분 동형 사상]]을 이루는 것을 '''푸아송 미분 동형 사상'''({{llang|en|Poisson diffeomorphism, ichthyomorphism}})이라고 한다. 이는 <math>\operatorname{PoissDiff}</math>의 [[동형 사상]]이다.
== 연산 ==
=== 곱공간 ===
임의의 두 푸아송 다양체 <math>(M,\pi_M)</math>, <math>(N,\pi_N)</math>에 대하여, 곱공간 <math>M\times N</math> 위에 다음과 같은 푸아송 구조를 줄 수 있다.
:<math>
\pi((u,v),(u',v)) = \pi_M(u,u') + \pi_N(v,v') \qquad\forall (x,y) \in M\times N,\;(u,v), (u',v') \in \mathrm T_{(x,y)}M\times N = \mathrm T_xM \oplus \mathrm T_yN </math>
이는 푸아송 다양체의 범주의 [[곱 (범주론)|곱]]이다. 특히, 사영 사상
:<math>\operatorname{proj}_1 \colon M \times N \to M</math>
:<math>\operatorname{proj}_2 \colon M \times N \to N</math>
역시 푸아송 사상을 이룬다.
=== 분리합집합 ===
임의의 푸아송 다양체들의 집합 <math>(M_i)_{i\in I}</math>에 대하여, [[분리합집합]] <math>\textstyle\bigsqcup_{i\in I}</math> 위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 [[쌍대곱]]이다.
=== 시작 대상과 끝 대상 ===
푸아송 다양체의 범주의 [[시작 대상]]은 [[공집합]] <math>\varnothing</math>이며, 푸아송 다양체의 범주의 [[끝 대상]]은 [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>이다. 즉, 임의의 푸아송 다양체 <math>M</math>에 대하여 유일한 두 함수
:<math>\varnothing \to M</math>
:<math>M \to \{\bullet\}</math>
는 각각 푸아송 사상을 이룬다.
== 성질 ==
=== 함자 ===
푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주는 [[매끄러운 다양체]]와 [[매끄러운 함수]]의 범주로 가는 망각 함자를 갖는다.
:<math>\operatorname{PoissDiff} \to \operatorname{Diff}</math>
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모든 [[심플렉틱 다양체]]는 푸아송 다양체로 간주될 수 있지만, 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 사상의 범주 <math>\operatorname{SympDiff}</math>에서 푸아송 다양체의 범주로 가는 망각 함자는 존재하지 않는다. 예를 들어, 두 유클리드 공간 <math>\mathbb R^2</math>, <math>\mathbb R^4</math>에 표준적인 [[심플렉틱 형식]]을 부여했을 때, 심플렉틱 사상 <math>\mathbb R^2\to\mathbb R^4</math>은 무한히 많이 존재하지만, 푸아송 사상 <math>\mathbb R^2\to\mathbb R^4</math>는 존재하지 않는다. 이는 심플렉틱 사상은 (0,2)차 텐서의 당김으로 정의되지만, 푸아송 사상은 (2,0)차 텐서의 밂으로 정의되기 때문이다.
=== 심플렉틱 다양체의 침몰로의 표현 ===
임의의 푸아송 다양체 <math>M</math>에 대하여, 심플렉틱 다양체 <math>\tilde M</math> 및 [[전사 함수|전사]] [[침몰 (수학)|침몰]]인 푸아송 사상
:<math>\phi\colon \tilde M\to M</math>
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