푸아송 다양체: 두 판 사이의 차이
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=== 푸아송 괄호를 통한 정의 ===
체 <math>K</math> 위의 가환 [[결합 대수]] <math>A</math> 위의 '''푸아송 괄호'''(Poisson括弧, {{llang|en|Poisson bracket}})는 다음 조건을 만족시키는 <math>K</math>-[[리 대수]] 구조이다.
* 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>(A,\{a,-\})</math>는 <math>K</math>-[[미분 대수]]이다. 즉, 다음 [[곱규칙]]이 성립한다.
*:<math>\{a,bc\}=\{a,b\}c+b\{a,c\}\qquad\forall a,b,c\in A</math>
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* 실수 가환 결합 대수 <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math> 위의 푸아송 괄호 <math>\{,\}</math>
푸아송 다양체 <math>(M,\{,\})</math> 위에서, 임의의 <math>f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>에 대하여 <math>\{f,-\}</math>는 <math>M</math> 위의 [[벡터장]]을 이룬다. 이러한 꼴의 [[벡터장]]을 '''해밀턴 벡터장'''(Hamilton vector場, {{llang|en|Hamiltonian vector field}})이라고 하고, <math>X=\{f,-\}</math>라면 <math>f</math>를 <math>X</math>의 '''해밀토니언'''({{llang|en|
[[리 대수]] <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>의 [[리 대수 중심|중심]]의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 '''카시미르 함수'''(Casimir函數, {{llang|en|Casimir function}})라고 한다.
=== 텐서장을 통한 정의 ===
매끄러운 다양체 <math>M</math> 위의 '''푸아송 텐서장'''(Poisson tensor場, {{llang|en|Poisson tensor field}}) <math>\pi</math>는 다음 조건을 만족시키는 (2,0)차 [[텐서장]]이다.
* (반대칭성) <math>\pi^{ij} = \pi^{ji}</math>
* (멱영성) <math>[\pi,\pi]=0</math>. 여기서 <math>[-,-]</math>는 [[스하우턴-네이엔하위스 괄호]]이다.
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=== 푸아송 사상 ===
두 푸아송 다양체 <math>(M,\{,\}_M)</math>, <math>(N,\{,\}_N)</math> 사이의 '''푸아송 사상'''(Poisson寫像, {{llang|en|Poisson map}}) <math>\phi\colon M\to N</math>은 [[매끄러운 함수]] 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
:<math>\{f,g\}_N \circ \phi = \{f\circ\phi,g\circ\phi\}_M \qquad\forall f,g\in\mathcal C^\infty(N,\mathbb R)</math>
푸아송 텐서장으로는
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푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를 <math>\operatorname{PoissDiff}</math>라고 표기하자.
푸아송 사상 가운데 [[미분 동형 사상]]을 이루는 것을 '''푸아송 미분 동형 사상'''(Poisson微分同形寫像, {{llang|en|Poisson diffeomorphism, ichthyomorphism}})이라고 한다. 이는 <math>\operatorname{PoissDiff}</math>의 [[동형 사상]]이다.
== 연산 ==
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