켤레 복소수: 두 판 사이의 차이
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19번째 줄:
복소켤레 연산에는 다음과 같은 성질이 있다. 임의의 복소수 <math>z,w</math>에 대해
:* <math>\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}</math>
:* <math>\overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}</math>
:* <math>\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}</math>
:* <math>\bar{\bar{z}}=z</math>
:* <math>\bar{z}=z</math> if and only if <math>z</math> is real
:* <math>|z|=|\bar{z}|</math>
:* <math>|z|^2 = z\cdot\bar{z}</math>
:* <math>z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2}</math> (<math>z</math>가 0이 아닐 경우).
이다. 이 성질들은 켤레복소수의 정의를 이용하면 간단히 증명할 수 있다.
33번째 줄:
복소수를 정의역으로 같는 몇몇 특수함수에 대해 복소켤레를 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
:* <math>\left( e^{z} \right)^* = e^{z^*} </math>
:* <math>\left( \sin {z} \right)^* = \sin z^* </math>
:* <math>\left( \cos {z} \right)^* = \cos z^* </math>
:* <math>\left( \sinh {z} \right)^* = \sinh z^* </math>
:* <math>\left( \cosh {z} \right)^* = \cosh z^* </math>
:* <math>\left( \ln {z} \right)^* = \ln z^* </math>
일반적으로, [[정칙함수]] <math>\varphi(z)</math>에 복소켤레를 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
47번째 줄:
행렬에서 <math>\bar{z}</math>와 <math>z^*</math>의 차이는 다음과 같다. 행렬 <math>A</math>의 <math>m</math>번째 행, <math>n</math>번째 열의 성분을 <math>A_{mn}</math>라 나타내고 그 복소수를 실수부와 허수부로 나누어 <math>a_{mn}+ib_{mn}</math>라 쓰자. 이 때, 각 표기법의 정의는 다음과 같다.
:* <math> (\overline{A})_{mn} = a_{mn} - ib_{mn} = \overline{(A_{mn})}</math>
:* <math> (A^*)_{mn} = (\overline{A})_{nm} </math>
좀 더 자세한 내용은 [[켤레전치]]를 참조할 것.
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