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== 명시적 공식 ==
소수 계량 함수는 다음과 같은 '''폰 망골트 명시적 공식'''({{llang|en|von Mangoldt explicit formula}})을 따른다. 이는 다른 [[L-함수]]들의 명시적 공식의 시초로 볼 수 있으며, 다음과 같다.
 
<math>\pi(x)=\textstyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle \mu(n)/n \{li(x^(1/n))-\sum_{\rho}Ei(\rho\ln(x)/n)-ln(2)+\textstyle \int_{x^(1/n)}^{\infty} \displaystyle dt/t/(t^2-1)/ln(t)\}</math>
 
이는 [[베른하르트 리만]]이 1859년에 발표한 논문의 주 내용인데, 엄밀한 증명은 1895년에 와서야 수학자 폰 망골트에 의해서 이루어졌다.
 
폰 망골트는 이 공식을 증명하면서 밑의 공식도 증명하였는데, 이는 다음과 같다:
 
:<math>\psi(x) = x - \sum_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})</math>
여기서
* 합 <math>\sum_{\rho\in S}</math>는 [[절대수렴]]하지 않는다. 이 경우 합은 <math>|\operatorname{Im}\rho|</math>의 순으로 계산하여 수렴하게 만든다.
* 위 공식은 ''x''가 정수가 아닌 1 이상의 실수인 경우, 즉 <math>x\in(1,\infty)\setminus\mathbb Z</math>에 대하여 유효하다. 만약 <math>x</math>가 2 이상의 정수인 경우, 좌변을 <math>(\psi(x-1)+\psi(x))/2</math>로 치환해야 한다.
 
이와 동치인 공식으로
 
== π(''x''), ''x'' / ln ''x'', 및 li(''x'')의 수치적 계산 결과 ==

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