브라-켓 표기법: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
잔글 틀 추가 - 기존의 문서를 충분히 읽어보았습니다. 함께 개선하는 것이 좋을 것이라고 판단하여 다듬어지지 않은 채로 올린 점 양해 부탁 드립니다. |
잔글 처음부분 수식 입력 및 약간의 수정 |
||
4번째 줄:
[[양자역학]]에서, '''브라-켓 표기법'''(bra-ket notation)은 [[양자 상태]]를 표현하기 위한 표준 표기법이다. 또한 이 표기법은 추상적인 [[벡터]]를 나타내거나 [[선형 범함수]]를 표현하는데 사용되기도 한다. 이 표기법은 [[괄호|꺾쇠괄호]] ⟨ 그리고 ⟩와 ,[[수직선 (기호)|수직선]] | 을 사용하여 표기하며 복소벡터공간에서 벡터의 [[스칼라곱]] 또는 벡터 위로의 선형 범함수의 작용을 나타내기 위해 사용된다. [[내적]]이나 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같이 표현된다.
:<math>\langle\phi{\mid}\psi\rangle.</math>
오른쪽 부분은 '''켓'''이라고 하며, 일반적으로 벡터 중에서도 [[열벡터]]를 나타내고 다음과 같이 쓰인다.
:
왼쪽 부분은 브라라고 하며, 같은 레이블의 (같은 내용물을 가진) 켓의 [[에르미트 수반]]이다. 주로 행벡터를 나타내고, 다음과 같이 쓰인다.
:
브라, 켓, 연산자의 조합은 [[행렬 곱셈]]을 표현하는데 사용된다. 레이블이 같은 브라와 켓은 서로에게 에르미트 수반이다.
18번째 줄:
브라-켓 표기법은 1939년에 폴 디랙에 의해 소개되었기 때문에<ref name="Dirac">{{harvnb|Dirac|1939}}</ref><ref>{{harvnb|Shankar|1994|loc=Chapter 1}}</ref> '''디랙 표기법'''이라고도 한다.
브라-켓 표기법은
<math>[\phi{\mid}\psi]</math>
으로 사용된 전례가 있다.
<ref name="Grassmann">{{harvnb|Grassmann|1862}}</ref>
== 소개 ==
줄 25 ⟶ 28:
양자역학에서 브라-켓 표기법은 매우 광범위하게 사용되고 있다. 많은 현상들이 양자역학으로 설명되고, 양자역학은 보통 브라-켓 표기법으로 표현되기 때문이다.
간단한 경우, 켓
일부 물리학자들이 선호하는 [[내적]]에 대한 표준 수학적 표기법은 다음 식과 같은 관계로 브라-켓 표기법과 정확히 같은 뜻을 나타낸다.
:<math>(\phi,\psi) = \langle\phi{\mid}\psi\rangle = \bigl(\langle\phi|\bigr) \, \bigl(|\psi\rangle\bigr),</math>
브라와 켓은 또한 다른 방법으로 구성되어 등의 다른 뜻을 나타낼 수도 있다. 다음 식과 같이 외적을 나타낼 수도 있다.
:
또한 행렬 곱셈(즉, 열벡터 곱하기 행벡터는 행렬)을 나타낼 수도 있다.
줄 42 ⟶ 45:
=== 벡터 vs 켓 ===
수학에서 "벡터"라는 용어는 일반적으로 어떠한 벡터 공간의 한 원소를 일컫는 데에 사용된다. 하지만 물리학에서 "벡터"라는 용어는 조금 더 자세한데, 거의 대부분이 실세계의 세 차원과 직접적으로 연관되어있는 세 요소를 가지고 있는 물리량([[변위]], [[속도]] 등)들을 일컫는 데에만 사용된다. 이러한 벡터는 일반적으로 화살표를 위에 표시하거나({{math|{{vec|''r''
양자역학에서 [[양자 상태]]는 일반적으로 추상복소수벡터공간의 원소로 표현되는데, 예를 들어 모든 가능한 [[파동함수]](삼차원 공간의 각 점에서 복소수로 대응되는 함수)의 유한 차원 벡터 공간 등이 있다. 이후 그러나 "벡터"라는 용어가 이미 다른 것들을 가르키는데 사용되면서(이전 단락을 참고하라.) 이러한 추상복소수벡터공간의 원소들을 일반적으로 "켓"으로 불리고 켓 표기법을 사용하여 표기하게 되었다.
=== 켓 표기법 ===
디랙이 발명한 켓 표기법은 수직선과 꺽쇠괄호를 사용한다
:
|A \rangle &= |B\rangle + |C\rangle \\
|C \rangle &= (-1+2i)|D \rangle \\
|D \rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} |x\rangle \, \mathrm{d}x \,.
\end{align}</math>
참고로, 어떠한 기호, 문자, 숫자, 심지어 단어들도 편리한 레이블은 무엇이든지 켓 안에 레이블로 쓰일 수 있다. 예를 들어, 위 수식의 마지막 줄은 각 실수 {{math|''x''}}마다 있는 무한히 많은 켓들을 조합해서 만들어진다. 다시 말해서 기호"
=== 내적과 브라 ===
줄 58 ⟶ 65:
브라–켓 표기법은 내적을 위한 표기법으로 다음과 같이 사용된다.
:<math> (A, B) = \langle A | B \rangle = \text{the inner product of ket } | A \rangle \text{ with ket } | B \rangle</math>
브라–켓 표기법은 "브래킷(괄호)"으로 불리는 내적을 다음과 같이 "브라"와 "켓" 두 부분으로 나눈다.
:<math> \langle A | B \rangle = \bigl( \langle A | \bigr) \, \bigl( | B \rangle \bigr)</math>
여기에서
내적을 브라와 켓으로 "나누는" 목적은 브라
==== 브라와 켓을 행벡터와 열벡터로 해석 ====
고정된 [[정규 직교 기저]]를 사용하는 유한차원 벡터공간에서, 내적은 다음과 같이 행벡터와 열벡터의 행렬 곱셈으로 쓰일 수 있다.
:<math> \langle A | B \rangle \doteq A_1^* B_1 + A_2^* B_2 + \cdots + A_N^* B_N =
\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}</math>
이를 바탕으로 하면, 브라와 켓은 다음과 같이 정의될 수 있다.
:<math>\begin{align} \langle A | &\doteq \begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix} \\
| B \rangle &\doteq \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix} \end{align}</math>
and then it is understood that a bra next to a ket implies [[matrix multiplication]].
그리고 이러한 정의는 브라 옆에 켓을 놓는것을 [[행렬 곱셈]]을 암시하는것으로 이해하게 한다.
줄 81 ⟶ 92:
브라의 [[켤레 전치]](''에르미트 수반''으로도 알려져 있다.)는 켓과 일치하고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.
:<math>\langle A |^\dagger = |A \rangle, \quad |A \rangle^\dagger = \langle A |</math>
왜냐하면 다음과 같은 브라,
:<math>\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix} \,,</math>
가 있을 때, [[켤레 복소수]]를 취하고 [[전치행렬|행렬을 전치]]하면 다음과 같은 켓이 되기 때문이다.
:<math>\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_N \end{pmatrix}</math>
==== 브라를 선형범함수로 해석 ====
무한차원공간으로 일반화하기에 더 쉬운 동치의 추상적인 정의로는 브라를 켓의 공간에서의 선형 [[범함수]]로, 즉, 켓을 입력으로 하고 복소수를 출력하는 [[선형 변환]]으로 두는 것이다. 브라로 표현되는 선형 범함수는 내적과 똑같이 정의된다. 따라서, 만약
:<math>\langle A | B \rangle = \langle A|\bigl(|B\rangle\bigr)</math>
즉, 이것 또한 내적과 똑같은 복소수를 만들어낸다. 우변의 표현은 여전히 두개의 켓을 포함하지만 ''내적이 아니다''. 이러한 내용이 혼란스러울수는 있지만, 결국 같은 숫자가 만들어지므로 내적으로 계산해도 큰 문제는 없다.
줄 103 ⟶ 114:
브라–켓 표기법은 힐베르트 공간이 아닌 벡터 공간에서도 사용될 수 있다.
양자역학에서, 무한의 [[노름]]을 가지고 있는 켓, 즉, [[규격화 불가능]] [[파동함수]]들은 관습적으로 쓰이고 있다. 예시로는 [[디랙 델타 함수]]나 무한 [[평면파]]가 [[파동 함수]]로 사용되는 상태 등이 있다. 기술적으로, 이러한 상태는 [[힐베르트 공간]]에 속하지 않는다.
[[바나흐공간|바나흐 공간]]은 힐베르트공간의 다른 정규화이다. 바나흐 공간
== 양자역학에서의 사용 ==
양자역학의 수학적 구조들의 대부분은 [[선형 대수학|선형대수학]]을 기반으로 한다.
* [[파동 함수]] 및 다른 [[양자상태]]는 복소수 [[힐베르트 공간]]의 벡터로 표현될 수 있다.(이 힐베르트 공간의 정확한 구조는 상황에 따라 다르다.) 브라-켓 표기법에서의 예를 들자면 하나의 전자는 "상태"
* 양자적 중첩상태는 중첩상태를 구성하는 상태들의 벡터 합으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 전자가
* 관측은 양자상태의 힐베르트 공간 위에서의 선형연산과 연관된다. 이는 [[관측가능량]]이라고도 불린다.
* 동역학은 힐베르트 공간에서의 선형 연산자로 설명되기도 한다. 예를 들어, [[슈뢰딩거 묘사]]에는 하나의 전자가 지금 상태 {{math|
* [[파동 함수|파동함수 규격화]]는 파동 함수의 [[노름]]을 1로 맞추는 작업이다.
줄 119 ⟶ 130:
=== 스핀이 없는 위치공간 파동함수 ===
{{여러그림
| left
| footer = 복소벡터의 요소들은 첨자의 숫자에 반해 표시된다. 이산 {{math|''k''}} 와 연속 {{math|''x''}}. 두개의 특정한 요소 강조된다 무한히 많은것들 중에 Components of complex vectors plotted against index number; discrete {{math|''k''}} and continuous {{math|''x''}}. Two particular components out of infinitely many are highlighted.
| width1 = 225
| image1 = Discrete complex vector components.svg
| caption1 = 복소 벡터 {{math|{{ket|''A''}} {{=}} ∑<sub>''k''</sub> ''A''<sub>''k''</sub> {{ket|''e<sub>k</sub>''}}}}의 이산 요소 {{math|''A''<sub>''k''</sub>}}는 가산-무한차원 힐베르트 공간에 속한다. 여기에는 가산-무한하게 많은 {{math|''k''}}값과 기저벡터 {{math|{{ket|''e<sub>k</sub>''}}}}가 있다.
| width2 = 230
| image2 = Continuous complex vector components.svg
| caption2 = 복소벡터 {{math|{{ket|''ψ''}} {{=}} ∫ d''x'' ''ψ''(''x''){{ket|''x''}}}}의 연속 요소 {{math|''ψ''(''x'')}}는 불가산-무한차원 힐베르트 공간에 속한다. 여기에는 무한하게 많은 {{math|''x''}} 값과 기저벡터 {{math|{{ket|''x''}}}}가 있다.
}}
줄 129 ⟶ 148:
왼쪽의 Ψ('''r''') 은 공간상의 어느 점으로부터 복소수로의 대응이며, 오른쪽의 <span class="nowrap">|Ψ⟩</span> = ∫ d<sup>3</sup>'''r''' Ψ('''r''') <span class="nowrap">|'''r'''⟩</span> 는 켓이다.
그 다음에는 관습적으로 파동 함수에 선형 연산자가 작용할 때
:<math>A \Psi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \lang \mathbf{r}|A|\Psi\rang \,.</math>
예를 들어, [[운동량]] 연산자 '''p''' 는 다음과 같은 형태이다.
:<math>\mathbf{p} \Psi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \lang \mathbf{r} |\mathbf{p}|\Psi\rang = - i \hbar \nabla \Psi(\mathbf{r}) \,.</math>
간혹 다음과 같은 표현을 만나게 될 때도 있다.
:
하지만 이것은 [[기호의 남용|표기법의 남용]]이다. 미분 연산자는 반드시 추상적인 연산자로 이해되어야한다. 켓에 대해 작용하는, 효과를 가지고 있는 파동함수 미분의 한번 표현은 투사되다 위치벡터에,
:<math>\nabla \lang\mathbf{r}|\Psi\rang </math>
그럼에도 불구하고, 운동량 기저에서, 연산자는 단지 곱셈연산에 해당된다.(
=== 상태의 중첩 ===
양자 역학에서 식
=== 스핀-{{sfrac|1|2}} 입자에 대한 기저 변환 ===
스핀-
:<math>|{\uparrow}_z \rangle \,, \; |{\downarrow}_z \rangle</math>
이러한 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 통해, 입자의''어떠한'' 양자 상태도 두 기저의 [[선형결합]](즉, 양자 중첩)으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
:<math>|\psi \rangle = a_{\psi} |{\uparrow}_z \rangle + b_{\psi} |{\downarrow}_z \rangle</math>
이때 ''a<sub>ψ</sub>'' 와 ''b<sub>ψ</sub>'' 는 복소수이다.
줄 165 ⟶ 184:
다음처럼 같은 힐베르트 공간에 대한 ''다른'' 기저도 존재한다.
:<math>|{\uparrow}_x \rangle \,, \; |{\downarrow}_x \rangle</math>
이
또, 입자의 ''어떠한'' 상태도 위의 두 기저의 선형 결합으로 의 입자로 표현할 수 있는 선형 조합의 이러한 두 가지:
:<math>|\psi \rangle = c_{\psi} |{\uparrow}_x \rangle + d_{\psi} |{\downarrow}_x \rangle</math>
벡터형식으로 다음과 같이 쓰일 수 있다.
:<math>|\psi\rangle \doteq \begin{pmatrix} a_\psi \\ b_\psi \end{pmatrix} \quad \text{or} \quad |\psi\rangle \doteq \begin{pmatrix} c_\psi \\ d_\psi \end{pmatrix} </math>
에 따라 기준으로 사용하고 있습니다. 즉,"좌표"의 벡터에 의존한 기준으로 사용됩니다.
이 있을 수학적으로 간의 관계 {{math|''a''<sub>ψ</sub>}}, {{math|''b''<sub>ψ</sub>}}, {{math|''c''<sub>ψ</sub>}} 및 {{math|''d''<sub>ψ</sub>}}참조 로 변경의 기초입니다.
=== 잘못된 사용 ===
표기법의 몇가지 관례와 오용이 물리학계에서 일반적으로 받아들여지고 있지만 혼동을 일으킬 여지가 있다.
같은 방정식에서 레이블과 상수로 같은 기호를 사용하는 것은 일반적이다. 예를 들어, {{math|''α̂''
벡터의 요소를 표기할 때 이와 비슷한 일이 발생한다. 동 {{math|''Ψ''}} (대문자)는 전통적으로 파동함수와 연관되었고, {{math|''ψ''}} (소문자)는 같은 맥락에서 파동함수 또는 복소상수 레이블을 표시하는데 사용되며, 아래첨자에 의해서만 구분된다.
주된 남용은 벡터 레이블 안에 연산을 포함하는 것이다. 이러한 남용은 벡터의 크기변환을 빠르게 표기하기 위해 사용된다. 즉, 만약 벡터
이는 특히 벡터를 텐서곱으로 표현할 때 일반적이다. 특히 레이블의 숫자가 밖으로 나갈 때 일반적이다. 예를 들어,
== 선형 연산자 ==
=== 켓에 작용하는 선형 연산자 ===
켓을 입력으로 하고 켓을 출력으로 하는 [[선형 변환|선형 연산자]]를 맵이라고 한다. ("선형"으로 불리기 위해서는 몇가지 속성이 요구된다.) 다시 말해서, 만약 {{math|'''''A'''''
{{math|''N''}}-차원 힐베르트 공간에서,
선형 연산자는 양자역학 이론의 어떠한 부분에도 존재한다. 예를 들어, [[에너지]]나 [[운동량]] 같은 관측가능량은 자기 수반 연산자로 표현되며, 변화 과정은 회전이나 시간의 진행과 같은 [[유니터리 작용소|유니터리]] 선형 연산자로 표현된다.
=== 브라에 작용하는 선형 연산자 ===
연산자는 브라의 ''오른쪽''에서 작용하는 것으로 표기된다. 특히, 만약 {{math|'''''A'''''
:<math>\bigl(\langle\phi|\boldsymbol{A}\bigr) |\psi\rangle = \langle\phi| \bigl(\boldsymbol{A}|\psi\rangle\bigr) </math>
(다른 말로 [[함수의 합성]]이다.) 이 표현은 일반적으로 기록(참조. [[에너지 내적]])
줄 210 ⟶ 229:
: <math>\langle\phi|\boldsymbol{A}|\psi\rangle \,.</math>
{{math|''N''}}-차원 힐베르트 공간에서,
만약 같은 상태 벡터가 다음과 같이 브라와 켓쪽에 둘다 나타나면
:<math>\langle\psi|\boldsymbol{A}|\psi\rangle \,,</math>
이 표현은 상태 프사이에 있는 물리학 계에 {{math|{{ket|''ψ''}}}}에 대해 관측 가능한 표현 연산자
=== 외적 ===
힐베르트 공간
: <math> |\phi\rang \, \lang \psi| </math>
줄 225 ⟶ 244:
은 다음과 같은 규칙에 따라 [[유한 계급 연산자|계급-1 연산자]]를 나타낸다.
:<math> \bigl(|\phi\rang \lang \psi|\bigr)(x) = \lang \psi | x \rang |\phi \rang</math>.
유한차원 벡터 공간에 대해, 외적은 간단한 행렬 곱셈으로 이해할 수 있다.
줄 239 ⟶ 258:
</math>
이때 외적은 선형 연산자로 볼 수 있는 {{math|''N'' × ''N''}} 행렬이다.
외적의 사용 용도 가운데 하나는 [[사영작용소]]를 구성하는 것이다. 노름이 1인 주어진 켓
:<math>|\psi\rangle \, \langle\psi| \,.</math>
=== 에르미트 수반 연산자 ===
브라와 켓이 서로 변환될 수 있는 것 처럼(
:<math> |\phi\rangle = A |\psi\rangle \quad \text{if and only if} \quad \langle\phi| = \langle \psi | A^\dagger \,.</math>
만약 {{math|''A''}} 가 {{math|''N'' × ''N''}} 행렬로 표현된다면, {{math|''A''<sup>†</sup>}} 는
== 성질 ==
브라-켓 표기법은 선형대수 표현의 조작을 쉽게하기 위해 고안되었다. 여기에는 조작을 쉽게 하는 몇몇 특성들을 목록으로 정리해두었다. 무엇을 다음과 같이, {{math|''c''<sub>1</sub>}}과
=== 선형성 ===
줄 261 ⟶ 280:
* 브라가 선형 범함수
::<math>\langle\phi| \bigl( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigr) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle \,. </math>
* 일 때, 덧셈의 정의와 [[쌍대공간]]에서의 선형 범함수의
::<math>\bigl(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigr) |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2 \langle\phi_2|\psi\rangle \,. </math>
=== 연관성 ===
브라-켓 표기법으로 쓰여진 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형 범함수와 연관된 모든 주어진 식에서, 괄호로 묶는것은 어떠한 문제도 되지 않는다(즉, [[결합법칙|연결결합법칙]] 속성을 갖고 있다.). 예를 들어:
:
\lang \psi| \bigl(A |\phi\rang\bigr) = \bigl(\lang \psi|A\bigr)|\phi\rang \, &\stackrel{\text{def}}{=} \, \lang \psi | A | \phi \rang \\
\bigl(A|\psi\rang\bigr)\lang \phi| = A\bigl(|\psi\rang \lang \phi|\bigr) \, &\stackrel{\text{def}}{=} \, A | \psi \rang \lang \phi |
\end{align}</math>
등과 같다. 식의 오른쪽(어떠한 괄호도 없는)과 표현은 중의적이지만 표현되는것이 허용된다. ''왜냐하면'' 왼쪽의 표현과 같기 때문이다. 참고로 결합성은 물리의 비선형 시간 역전 연산자와 같은 비선형 연산자 표현까지 적용되지는 않는다.
=== 에르미트 수반 ===
브라–켓 표기법은 특히 에르미트 수반(또는 데거라고 하며
* 브라의 에르미트 수반은 켓이고, 그 역도 성립한다.
줄 281 ⟶ 303:
* 모든 것(선형 연산자, 브라, 켓, 숫자)의 에르미트 수반의 에르미트 수반은 그 자신이다. 즉,
::<math>\left(x^\dagger\right)^\dagger=x \,.</math>
* 브라-켓 표기법으로 기술된 어떠한 조합의 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형연산자에 대해, 그것의 에르미트 수반은 요소들의 순서를 뒤집고, 각각에 대해 에르미트 수반을 취함으로써 계산할 수 있다.
줄 289 ⟶ 311:
* 켓:
::
\bigl(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle\bigr)^\dagger = c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2| \,.
</math>
* 내적:
::<math>\langle \phi | \psi \rangle^* = \langle \psi|\phi\rangle \,.</math>
: Note {{math|{{bra-ket|''φ''|''ψ''}}}} 가 스칼라,Hermitian 복합 단지는 복잡한 공액,즉
::<math>\bigl(\langle \phi | \psi \rangle\bigr)^\dagger = \langle \phi | \psi \rangle^*</math>
* 행렬 원소:
줄 307 ⟶ 333:
* 외적:
::<math>\Big(\bigl(c_1|\phi_1\rangle\langle \psi_1|\bigr) + \bigl(c_2|\phi_2\rangle\langle\psi_2|\bigr)\Big)^\dagger = \bigl(c_1^* |\psi_1\rangle\langle \phi_1|\bigr) + \bigl(c_2^*|\psi_2\rangle\langle\phi_2|\bigr) \,.</math>
== 브라와 켓의 합성 ==
두 힐베르트 공간 {{math|''V''
만약
:<math>|\psi\rangle|\phi\rangle \,,\quad |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle\,,\quad|\psi \phi\rangle\,,\quad|\psi ,\phi\rangle\,.</math>
이러한 곱의 적용은 [[양자 얽힘]] 과 [[EPR 역설]]을 참고하라.
==
완비정규[[직교]]계([[기저 (선형대수학)|기저]])이고,
:<math>\{ e_i \ | \ i \in \mathbb{N} \} \,,</math>
인 노름이 내적{{math|{{angbr|·,·}}}}인 힐베르트 공간{{math|''H''}}를 고려하자.
기초적인 [[함수해석학|함수해석]]에서, 어떠한 켓
:<math>|\psi\rangle = \sum_{i \in \mathbb{N}} \langle e_i | \psi \rangle | e_i \rangle,</math>
이때
이것은 켓의 (복소)스칼라의 교환법칙에 따라 다음의.
:<math>\sum_{i \in \mathbb{N}} | e_i \rangle \langle e_i | = 1\!\! 1</math>
는 반드시 각 벡터를 자기 자신으로 보내는 ''항등 연산자''여야 한다.
== 수학자들에 의해 사용된 표기법 ==
브라-켓 표기법을 사용할 때 물리학자가 고려하는 대상은 [[힐베르트 공간]] ([[완비 거리 공간|완비]] [[내적 공간]])이다.
:
:<math> \phi_h(g) = \mbox{IP}(h,g) = (h,g) = \langle h,g \rangle = \langle h|g \rangle </math>,
이때, {{math|IP(·,·)}}, {{math|(·,·)}}, {{math|{{angbr|·,·}}}}, 그리고, {{math|{{bra-ket|·|·}}}}는 단지 힐베츠트 공간의(또는 처음 세 표기법의 경우, 내적 공간에서도) 두 원소 사이의 내적을 표현하는 다른 표기법일 뿐이다.
표기의 혼동은 {{math|''φ<sub>h</sub>''}}, {{math|''g''}}와 {{math|{{bra|''h''}}}}, {{math|{{ket|''g''}}}}를 각각 식별하는데에서 발생한다. 이것은 문자 그대로 상징적 대체이기 때문이다. {{math|''φ<sub>h</sub>'' {{=}} ''H'' {{=}} {{bra|''h''}}}}라고 하고 {{math|''g'' {{=}} G {{=}} {{ket|''g''}}}}라고 하자. 이러한 가정은 다음과 같은 식을 제공한다
:<math> \phi_h(g) = H(g) = H(G)=\langle h|(G) = \langle h|\bigl(|g\rangle\bigr) \,. </math>
괄호를 무시하고 두개의 세로선을 제거한 식을 얻게 된다.
== 참조 ==
줄 383 ⟶ 390:
* [[내적 공간|내적]]
==
{{reflist}}
==
* {{저널 인용|제목=A new notation for quantum mechanics|저널=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|성=Dirac|이름=P. A. M.|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2031476|연도=1939|권=35|호=3|쪽=416–418|bibcode=1939PCPS...35..416D|doi=10.1017/S0305004100021162|ref=harv}}니다. 또한 자신의 표준 텍스트, ''양자 역학의 원리'',IV edition Clarendon Press(1958 년), {{ISBN|978-0198520115}}
| |||